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et les propriétés aujourd'hui bien connues des intégrales d'une telle équa- 

 tion vont rendre facile l'étude des intégrales de l'équation (2) sur toute la 

 surface. 



» On peut se proposer d'étudier les intégrales de l'équation (2) uni- 

 formes sur toute la surface. On voit, de suite, qu'une telle intégrale ne 

 peut être toujours continue, à moins qu'elle ne soit identiquement nulle ; 

 c'est ce qui résulte de ce fait qu'une intégrale de (2'), continue ainsi que 

 ses dérivées partielles des deux premiers ordres, ne peut avoir ni maxi- 

 mum positif, ni minimum négatif. On doit donc se donner certaines singu- 

 larités pour l'intégrale ; nous allons considérer celles qui sont intéressantes 

 au point de vue de la théorie de la chaleur qui nous guide ici. 



)> 3. Soit, dans le plan {x, y) l'origine qui sera un point singulier d'une 

 intégrale de l'équation (2'). T'envisage d'abord l'équation 



<?»V d'y ^ /.2 V 



où kl et (j-o représentent les valeurs de ^^ et [a à l'origine. Cette équation 

 admet une intégrale de la forme 



M = Go(r)logr+G,(r) [G„(o) = i], 



r désignant la distance du point (a;, y) à l'origine. Go et G, étant des fonc- 

 tions entières de r-. Ceci posé, on peut former une intégrale V,, de (2') 

 définie dans le voisinage de l'origine et de la forme 



Vo = ?< + V, 



V étant continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres 

 autour de l'origine et à l'origine. L'intégrale AVo (A étant une constante) 

 peut nous servir à définir la façon dont une intégrale V devient infinie en 

 un point de la surface ; nous entendrons par là que la différence V — AV^ 

 reste continue ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres au point 

 singulier et dans une certaine région autour du point singulier. 



» On voit qu'un tel point singulier peut être regardé comme correspon- 

 dant à une source de chaleur; le flux sera égal à 27uA. 



» 4. La question qui se pose est alors la suivante : établir l'existence de 

 la solution de l'intégrale uni forme sur toute la surface de l' équation (2) ayant 

 des points singuliers donnés de la nature indiquée avec des coefficients A éga- 

 lement donnés. Il n'y a ici aucune relation entre les coefficients A et la soin- 



