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lion est unique. Ce problème est évidemment celui de l'équilibre calori- 

 fique de la surface fermée rayonnant au dehors, avec un certain nombre 

 de sources situées sur elle et ayant des flux donnés. 



» Si l'on se rappelle que les problèmes fondamentaux relatifs à l'équa- 

 tion de Laplace peuvent être résolus aussi pour l'équation 



,„ . d'^ Il d'^u 



(3) d^+d3^==^" 



(e étant une fonction de x et j, positive ou nulle) en se servant de pro- 

 cédés alternés ou d'extensions analytiques, il paraît a priori certain que les 

 méthodes employées par M. Schwarz pour résoudre le problème énoncé 

 à la fin du § 1 pourront être encore ici employées. Il en est bien ainsi, et 

 l'on peut même ajouter une remarque intéressante : c'est que, pour le 

 ejenre de problèmes envisagés, l'étude de l'équation (2) pour A différent 

 de zéro est plus simple que celle de l'équation (i) qui n'en est cependant 

 qu'un cas particulier (Â- = o). La raison en est que nous pouvons, pour 

 l'équation (3), quand c n'est pas identiquement nul, faire usage d'un lemme 

 qui n'a pas son équivalent pour l'équation de Laplace. 



» Ce lemme peut être ainsi énoncé : Étant considéré un contour simple C, 

 envisageons l'intégrale continue u de l'équation (3) prenant sur le contour 

 une succession de valeurs dont la valeur absolue est inférieure à M; pour tout 

 point Q intérieur au contour, il existera un nombre fixe q inférieur à l'unité, 

 tel que l'on aura 



\u\<imq. 



» Ce lemme est évidemment inexact, quand c est identiquement nul. C'est 

 ce qui fait que M. Schwarz a été obligé de recourir à une autre proposition, 

 où l'on doit considérer seulement des fonctions harmoniques c^o/z^ /a valeur 

 moyenne est nulle sur le bord. Au point de vue de la convergence des mé- 

 thodes d'exhaustion qui donnent la solution des problèmes posés, c'est 

 encore ce qui fait qu'il y a pour l'équation de Beltrami une condition 

 nécessaire entre les données A, tandis que nous n'avons rien d'analogue 

 pour l'équation (2). 



)) 5. Après ces remarques, il sera facile d'établir l'existence de la solu- 

 tion cherchée, et il suffira évidemment de se borner au cas d'un seul point 

 singulier. 



» On considère d'abord le cas d'une surface ouverte, c'est-à-dire que 



