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nous traçons sur la surface un petit contour et enlevons la partie inté- 

 rieure. Soit 1 la portion restante. Il est alors facile d'établir l'existence 

 d'une solution uniforme de l'équation (2), continue dans 1 et prenant sur 

 le contour des valeurs données; c'est une conséquence de ce que le pro- 

 cédé alterné s'étend à l'équation (2') ou à l'équation (3). 



H Ceci posé, traçons sur la surface autour du point singulier o deux 

 contours T et (",, et soit F intérieur à C. Appelons 1 la portion de la surface 

 extérieure à F. On se donne sur C une succession arbitraire de valeurs, et 

 l'on détermine l'intégrale u, de (2) prenant ces valeurs sur C, et continue 

 dans C, sauf au point o qu'elle a comme [)oint singulier avec la valeur 

 correspondante donnée de A. Cette fonction u, a certaines valeurs sur F; 

 on détermine alors l'intégrale c, prenant ces valeurs siu* F et continues 

 dans 2. Avec les valeurs de i', sur C, l'on forme une fonction u., ayant ces 

 valeurs sur C et possédant en o la singularité donnée. On continue ainsi 

 indéfiniment, et l'on a deux successions de fonctions 



u,, u.,, ..., u„, ..., 



satisfaisant toutes à l'équation (2). Les v sont continues dans 1, et les u 

 sont continues à l'intérieur de C, sauf au point o où elles ont toutes la sin- 

 gularité donnée. Avec les remarques faites plus haut, on établit aisément 

 que «„ et r„ convergent uniformément vers deux intégrales u et ç de 

 l'équation (2), définies respectivement à l'intérieur de C et dans 1. 

 Ces fonctions coïncident entre C et F; leur ensemble donne la solution 

 du problème proposé sur la sur/ace fermée. 



» 6. Je termine par l'examen d'un cas particulier, qui va nous conduire 

 à une transcendante intéressante. On voit facilement que, dans le cas d'un 

 tore, le problème proposé se ramène à la considération, dans le plan (oc, y), 

 de l'équation 



f{x, j) étant une fonction continue et positive, périodique séparément par 

 rapport à a; et par rapport ky. Il s'agit de trouver l'intégrale de cette équa- 

 tion ayant les mêmes périodes par rapport à a; et par rapport à y, et 

 ayant la singularité de nature indiquée en un point (a, ^) et en ses homo- 

 logues dans chacun des rectangles de périodes. Considérons particulière- 



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