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 égaux. Ramenons cette équation à la forme canonique de M. Moutarrl. Soit : 



(3) i^=MÔ, 



cette équation. En appliquant le critérium des congruences cvcliques, on 

 voit que l'équation (3) doit admettre cinq relations E,, ^5, telles que 



(4) ^; + e^^-?^-?:^-?^-u--v. 



» Je désignerai d'une manière générale par Ep les équations de la 

 forme (3) qui admettent p solutions dont la somme des carrés est égale à 

 U 4- V. Ee problème posé revient donc à trouver les équations E,. 



» Plaçons-nous d'abord dans le cas général où aucune des fonctions U 

 et V ne se réduit à une constante. Le problème est alors du huitième ordre, 



» A un système CC sont harmoniques -xi* systèmes O, 30; à un système 

 O, 30 il y a deux systèmes CC harmoniques. On en déduit une première 

 transformation de notre problème, transformation qui comprend, comme 

 cas particulier, la transformation de M. Bianchi pour les surfaces à cour- 

 bure totale constante. 



" Un système O, 30 est conjugué à od' systèmes I, 5L Le centre 

 'M{x,,x^,x^) d'une sphère J, 51 décrit un réseau de lignes de courbures et 

 il existe quatre fonctions j,, y,, y,, r* satisfaisant à la même équation de 

 Laplace que œ^, x^, x^ et telles que 



2 , *» *> « 



.'''( ^' y- y's -^y'. "• 



» Inversement, si un système l, hl est donné, il existe yz- systèmes O, 30 

 qui lui sont conjugués; ces systèmes s'obtiennent par la résolution de deux 

 équations de Riccati. De là une deuxième transformation du problème. 



» Si l'on prend un système L 5L il y a co* systèmes 2L 41 qui lui sont 

 harmoniques; à un système 2I, 4I, il y a deux systèmes L 51 harmoniques, 

 d'où il résulte une troisième transformation du problème. 



» Si l'on part d'un système O, 30, on trouve 00^ systèmes 3L 31 qui lui 

 sont conjugués; inversement, chaque système 3L 5l a pour conjugués 

 quatre systèmes O, 30; de là une quatrième transformation du problème. 



» Enfin, en prenant comme point de départ un système 2L 41, on peut 

 obtenir 00' systèmes 2O, 2 O conjugués; inversement, tout système 2O, 2O 

 fournit ce- systèmes 2L 41 qui b'i sont conjugués. Il en résulte une cm- 

 quième transformation du problème. 



