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» De même, quand il existe un groupe D > A et B et tel que D = AB, 

 on dit que A et B sont échangeables ( ' ). 



» Théorèmk I. — La condition nécessaire et suffisante pour que les 

 groupes A e^ B entre x^, ..., x^^ contenant la transformation identique (') 

 soient échangeables est que le groupe D = (A, B), dérivé de A et B, n'ait 

 d'autres transformations infinitésimales que celles de la forme E +• E', si^et E' 

 sont les formes les plus générales des transformations infinitésimales de A et B. 



» Théorème II. — La condition nécessaire et suffisante pour que les deux 

 groupes A e/ B à /•, et r, paramétres soient échangeables est que le groupe D 

 dérivé de A et B soit à r, -h rn — m paramétres, m étant l'ordre du sous- 

 groupe C des transformations communes à A et B. 



» En nous appuyant sur la détermination des groupes simples faite par 

 MM. Killing et Cartan, nous avons établi le théorème suivant : 



» Théorème III. — Tout groupe fini continu de transformations de Lie est 

 décomposable, quand il a au moins deux paramétres ( ^ ). 



» Théorème IV. — Le problème de la recherche des sous-groupes transitifs 

 des isomorphes holoédriques et transitifs d'un groupe donné est compris dans 

 celui de la recherche des décompositions de ce groupe en un produit de deux 

 sous-groupes, et lui est équivalent, quand ce groupe est simple. 



» En remarquant que les propriétés indiquées par nous dans une Note 

 précitée du Bulletin de la Société mathématique (§3) pour les groupes de 

 substitutions ont encore lieu pour les groupes finis continus C), nous arri- 

 vons aux théorèmes suivants : 



!) Théorème V. — Étant donné un groupe transitif G dans l' espace x ^ , ..., 

 Xn qui laisse invariantes les deux divisions de cet espace 



(P) Î2,(a7,, ...,x„) -tt: a,, ..., i2„_,,(^,, . .., cr„)=: a 



(Q) O, (j?, , .... a;„) = «,,... , 0„_<,(.r, , . . . , a"„) = a„_,', 



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(') Comparer KiLLiNfi, Math. Ann., t. XXXIV, p. Sy, et Cartan, Thèse de doctorat, 

 p. 52 : leur définition de la décomposition est diflerente. 



(^) Nous ne considérons dans ce qui suit que des groupes contenant la transforma- 

 tion identique. 



(^) Il en résulte notamment la possibilité de former, pour chaque groupe de Lie à 

 au moins deux paramètres, deux suites au moins analogues à celles du Jemme II et du 

 théorème I de la précédente Communication. 



(') Il suffit de remplacer dans les démonstrations les produits et quotients par des 

 sommes et différences. 



