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la condition nécessaire et suffisante pour que V ensemble des multiplicités géné- 

 rales Çl, permutées avec une d'elles Q„ par les transformations de (Po). forme 

 une multiplicité d'une division <I> de l'espace x,, ...,x^ invariable par G, est 

 que (Po) et (Qo) soient échangeables, (\\) et (Q„) étant formés respective- 

 ment des transformations de G qui laissent invariables les multiplicités P„ 

 et Qo de V et Q contenant un même point -r.,, de position générale. La division <I> 

 a p ^q — s degrés de liberté, r — n -- s étant l'ordre du groupe commun | 



à (Po) et (Qo). 



» Ce théorème comporte une interprétation géométrique; la voici pour 



l'espace ordinaire : 



» Corollaire. — Étant donné un groupe G transitif entre les trois variables 

 x,y, z qui laisse invariables les deux systèmes de courbes 



(P) Q,{x,y,z.)=-x,, ii.,(x,y,z.)=^ 0L2, 



(Q) 0,(x,y,z) -^a,, 0.fx,y,z)^=ai, 



la condition nécessaire et suffisante pour que l'ensemble des courbes Q per- 

 mutées avec une d'elles Qo rencontrant Po par les transformations de (Po): 

 ou encore pour que l'ensemble des courbes Q qui rencontrent la courbe Po 

 de P forme une surface appartenant à un système simplement infini de sur- 

 faces formant une division de l'espace invariable par G, est que les groupes 

 (Po)et(Qo) soientéchangeables,(P„) et (Qo) étant formés respectivement 

 des transformations de G qui laissent invariables les courbes Po et Qo- 



i) Le théorème précédent comporte encore une interprétation dans la 

 théorie des systèmes d'équations aux dérivées partielles. 



M Théorème VI. — Tout étant posé comme au théorème V, st 



^^'^ \ Z, :o, ..., Z,^o 



sont les systèmes complets d'équations linéaires aux dérivées partielles qui défi- 

 nissent deux divisions P et Q invariables par le groupe transitif G, la condition 

 nécessaire et suffisante pour que l'ensemble des équations {i) forme un système 

 complet est que (Po) et (^Ç^^) soient échangeable s. Ce système complet est formé 

 de p -\- q — s équations indépendantes si r - n - s est l'ordre du groupe 

 commun à ( Po ) ei ( Q^ ). 



» Théorème VII. — Un groupe G dont tous les sous-groupes sont deux à 

 deux échangeables est intégrable. » 



