( '339 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration de l'équation ^u ~. fu. 

 Note de M. J.-W. Lindeberg, présentée par M. Picard. 



« Soient c la circonférence d'un cercle C de rayon R ayant l'origine 

 pour centre, f une fonction donnée de x et y, et <ï>c une fonction définie 

 en tout point de c. Désignons encore par p et cp les coordonnées polaires 

 d'un pointa-, y, et faisons les hypothèses suivantes : 



» 1° La fonction /est continue et admet une limite inférieure positive 

 et non nulle dans C ; 



» 2" Elle possède des dérivées partielles des trois premiers ordres, finies 

 et continues dans C, le contour compris; 



» 3° La fonction O^ admet des dérivées des deux premiers ordres par 

 rapport à <ï>, finies et continues. 



» Cela posé, nous allons montrer c\\\on peut trouver une fonction V de 

 X et y, finie et continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers 

 ordres dans C, et satisfaisant aux conditions 



dS 

 AV=/VdansC, -r- — $c sur c, 



dN 



-j- désignant la dérivée de V prise dans la direction de la normale intérieure. 



■■> Soit u. la fonction satisfaisant aux relations 



Af<, ~~/W| dans C, w, -= i sur c, 



du y 



dn 



et désignons par k le minimum du module de -i-!- sur c; on démontre que 



k > o. 



» De cette inégalité on conclut que, u étant une intégrale de l'équation 

 Lu - fu et M désignant le maximum du module de u sur c, il existe deux 

 constantes positives a et -/), telles que 



(a) Jm(R - S«,<p)| <M(i - a S/?), 



pour "hn <^ Y). De plus 011 aura, dans C, 



(^) I 





g désignant le maximum du module de ^ sure. 



