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 » Soit maintenant ^n„ une valeur de ^n inférieure à -r, et posons 



' 2' 



» A chaque valeur entière et positive de i nous ferons correspondre une 

 suite de fonctions 



D' U^ TJ" 



u,-, u, , .... u,- , 



définies par les conditions 



au; =/U; dans C; U,! = - fj", sur c, 



AU: ^---/Uf dans C; U; = U,' (R - S^„ ç) sur c, 



AU;'--=:/U;' dans C; U," = U;.'"' (R - Sw„ 9) sure. 



» L'inégalité (a) nous donne le moyen de montrer que les fonctions 



n 



vérifient l'équation AU = fit, et qu'on a, dans C, 



1U,|<^, 



K désignant le maximum du module de $£.. D'ailleurs, on aura 



U,(R - S/?,-, 9) - U,(R, <p) = ^M,. 



» Ceci établi, on démontre que le module de la dérivée , ^' admet 

 dans C une limite supérieure G, ce qui entraîne l'inégalité 



dn 





d'où 



I— ru- -U-^ <' — '^ 



et, par suite, à cause de (b), 



)) Donc, la série ^(U/^., — U,) est uniformément convergente dans C, 



i 



et représente par conséquent une intégrale de l'équation Au = fu. 



