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état |)ermanent; et il pourra bien se faire que la fonclion linéaire cp de-M et 

 de ses dérivées premières en x, y, z satisfasse à la même équation. Cela 

 arrivera, notamment, si la surface rayonnante est plane; car, alors, 

 G, H, I étant constants, chacun des quatre termes de cji vérifiera séparé- 

 ment l'équation voulue (2). Si, en outre, le corps a des parties profoniles 

 où a prenne asymptotiquement une certaine valeur constante «„, la fonc- 

 tion çp s'y réduira aussi à ;/„, les trois derniers termes de (i) s'y c\anouis- 

 sant. Enfin, dans le cas de températures variables avec le temps /, il y aura 

 une condition d'état initial, u:= f(a',,Y, :■), avec /" fonction arbitraire de 

 j:', >', z, que M devra vérifier à l'instant tie début du phénomène; et alors 

 9 aura les valeurs initiales, également connues, 



(3) ,=/+G^+H^'+lf- 



' •' a.T (ly dz 



» Elles se réduiront même à cp =y'dans le cas le plus intéressant, qui 

 est celui d'une température initiale constante. 



» La fonction rp vérifiera donc, dans le refroldissemenl ou CèchaaffemenL 

 par rayonnement, des équations identiques, ou du moins analogues, a celles 

 qui déterminent a dans le refroidissement nu l'échauffement par contact. Si 

 I on sait calculer u dans ce dernier cas, on pourra, dès lors, obtenir cp dans 

 le cas du rayonnement. Après quoi, pour avoir u, on intégrera l'équation 

 linéaire (i) du premier ordre, en déterminant par la condition u = u„ rela- 

 tive aux régions profondes, ou par quelque autre équivalente, la fonction 

 arbitraire qu'introduit celte dernière intégration. En général, celle-ci ne 

 se fait pas sous forme finie, et la formule de //. contient, par suite, un 



signe / de plus que celle de o. L'expression de u emploiera donc des inté- 

 grales définies d'un degré de multiplicité plus élevé (d'une unité) dans le 

 refroidissement ou l'échauffement par ravonnemenl, que dans le refroidis- 

 sement ou réchauffement par contact. 



» IV. .le donnerai de cette théorie quatre exemples, se rapportant, deux, 

 à des états variables avec /, et, deux, à des états permanents. 



» Le premier sera celui de l'échauffement d'un mur d'é|)aisseur indé- 

 finie, ayant eu (à l'époque t= — -co) des températures initiales nulles, 

 occupant d'ailleurs toute la région des x positifs, avec le plan x = o pour 

 face rayonnante, et chauffé par une source extérieure uniforme, d'étendue 

 également indéfinie, quLproduira devant toute cette face des températures 



