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 )) Soit a un nombre incommensurable positif. Développons a en frac- 

 tion continue illimitée 



'j.^za„- 



où «0 est entier positif ou nul, et où les «„ sont tous entiers positifs. Appe- 

 lons -=p la n''''"* réduite de cette fraction continue, de manière que 



P, =a„, P2=a,fl„+r, .... P«+, = «„.P„ + P« ,, 



Q, = i. Q2 = «f •••' Q«+i = ««Q«-f-Qn-i» 



» Comme on le sait, la première démonstration de l'existence des 

 nombres transcendants, due à Liouville ('), est basée sur une propriété 

 remarquable des nombres a,„ dans le cas où a est algébrique. En effet, si a 

 est racine d'une équation algébrique à coefficients entiers et de degré r, 

 on aura 



(0 a„<MQ:r-\ 



où M est une constante qui ne dépend pas de n. 



» J'ai trouvé une propriété analogue pour les logarithmes des nombres 

 algébriques. En effet, j'ai démontré le théorème suivant : 



» Soient A e< B deux nombres algébriques positifs et ^ \ et tels que 



"■ ~ logB 



soit incommensurable. Développons a en fraction continue illimitée. En con- 

 servant les mêmes notations qu'auparavant, on aura l'inégalité suivante : 



(2) a„<k'^, 



où k et N sont des nombres fixes dépendant seulement de A et de B et indépen- 

 dants de n. 



» Ainsi, quand A et B sont entiers, on peut poser 



X- = BMogB, N=A, 

 (') Voir Journal de Liouville, t. XVI. 



