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en désignant par logB le logarithme népérien de B. Observons que si 

 B = lo, a est le logarithme vulgaire du nombre algébrique A. 



» De ce théorème on peut tirer des conséquences intéressantes pour la 

 théorie des nombres transcendants. En effet, si l'on forme une fraction 

 continue oii les nombres entiers positifs a„ satisfont à l'inégalité 



a„>F(rt), 



où F(n) croît plus vite que le second membre de l'inégalité (2), et cela 

 quelles que soient les constantes k et N, les inégalités (i) et (2) finissent 

 par être impossibles pour n assez grand. Par conséquenl la valeur de la 

 fraction continue correspondante sera un nombre transcendant qui ne sera 

 pas égal à un nombre de la forme 



logA 

 logB' 



k et Ç) étant des nombres algébriques positifs. Par conséquent ce nombre trans- 

 cendant ne sera pas non plus égal au logarithme vulgaire d'un nombre algé- 

 brique positif . Pour construire un tel nombre il suffit, par exemple, de poser 



a„— n'-'". 



» A priori, l'existence de pareils nombres transcendants découle immé- 

 diatement des recherches de Cantor ('). En effet, il a démontré que l'en- 

 semble des nombres algébriques est dénombrable. Comme l'ensemble des 



nombres de la forme r-^' A et B étant algébriques, est également dénom- 

 brable, il s'ensuit qu'il reste encore une infinité non dénombrable de 

 nombres transcendants de la propriété énoncée. 



» Le même procédé peut être appliqué aux nombres des formes 



arc laiigA arcsinA J„ v(' — •^~") (• — ■ k'^x^) 



l 



dx 



arctangB arcsinB f^ ^^, 



et à une infinité d'autres. « 



"^ 



v/(.-.r^)(i-A-' 



(') Journal de Crellc, l. 77. 



