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 M. Poincaré a démontré qu'il u'existe pas davantage d'intégrale analytique 

 uniforme dans foui le domaine réel des variables. 



» Au lieu d'intégrales algébriques (ou uniformes) par rapport à toutes 

 les variables (coordonnées et vitesses), il est loisible de considérer les inté- 

 grales algébriques (ou uniformes) par rapport aux vitesses, et renfermant 

 les coordonnées d'une façon quelconque. L'intérêt de ces intégrales appa- 

 raît aussitôt, si l'on remarque que leur propriété se conserve quand on 

 rapporte la position du système à 6n coordonnées y,, ..., y,,, entière- 

 ment quelconques ('). 



» J'ai déjà étendu le théorème de M. Bruns en établissant qa' il n existe 

 pas (en de/tors des intégrales classiques) d'intégrale (ni même d'équation in- 

 tégrale) algébrique par rapport aux vitesses. Je me propose ici d'étendre 

 de la même maiiièie le llicorome de M. Poincaré. 



» Pour étendre le théorème de M. Bruns, je me suis appuyé sur un théo- 

 rème général que j'ai démontré pour un système dilTérenticI quelconque, 

 et qui, dans le cas du problème des n corps, s'énonce ainsi : 



» Toute intégrale rationnelle par rapport aux vitesses n'admet, dans le do- 

 maine des Xi, Y,, z,-, aucune singularité (non polaire) en dehors des valeurs 

 qui vérifient les égalités 



(Xi- XjY -[-(yr-yjY-'. (si- ZjY--'- o, ( i,j -1,2 n). 



» Pour étendre le théorème de .M. Poincaré, je m'appuierai siu- un 

 théorème analogue que j'ai déjà publié pour un système quelconque, et 

 qui, dans le cas du problème des n corps s'énonce ainsi : 



» Toute intégrale uniforme dans le domaine réel par rapport aux vitesses 

 n'admet, dans le domaine réel des x,, >',, c,, aucune singularité critique, en 

 dehors des valeurs qui vérifient les égalités 



xr-^ Xj, Vi -Jj, =,^-- -> t,J '<-i ")• 



» Il suit de là aussitôt (') que si une intégrale esl uniforme (dans le do- 

 maine réel) par rapport aux vitesses, elle est aussi uniforme (dans le 

 domaine réel) par rapport aux coordonnées. On est ramené ainsi au 

 théorème de M. Poincaré. 



(') Ces paramètres peuvent être des fonctions transcendantes des Zn coordonnées 

 cartésiennes a;,, y^, Zj. 



(') Le cas du mouvement /ilan exige une discussion spéciale, qui ne présente pas 

 d'ailleurs de difficulté. 



