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sont donnés par les formules 



^ = L, du' -'r- N, dv\ *1 r^ L,rfM^ 4- Nj dv\ 



ciï, et ds^ désignant les éléments linéaires de (S,) et de (S„). 

 » Les notations étant ainsi fixées, on a 



, F, F, L, 



^'--sinV L,' 



* sinV N, 



» En multipliant ces égalités membre à membre, on trouve une nou- 

 velle valeur de W,, savoir : 



» Si les asvmpfotiques se correspondent sur les deux nappes de la sur- 

 face focale, r^ ^ V' P'"' suite W = i et réciproquement. C'est là un théo- 



rème deRibaucour et sa réciproque, due à M. Cosserat. 



M Si les asvmptoti(juos de l'une des nappes correspond<'nt à un système 

 conjugué tracé sur l'autre. L,NoH- L^N, — o, par suite \N = ~ i et réci- 

 proquement, théorème du à M. VVaeIscli. 



« Si l'on veut que les asymptotiques de (S,) correspondent aux lignes de 

 courbure de (Sj), il faudra, en outre, et il sera suffisant que F,Fj soit 

 dirigée suivant un des diamètres conjugués égaux do l'indicatrice de (S^) 

 en Fj. 



» En interprétant géométriquement le second membre de la rela- 

 tion (B), on peut exprimer l'invariant W au moyen du carré d'un certain 

 rapport anharmonique. 



» Considérons, en l'un des points focaux, en F,, par exemple, les quatre 

 tangentes suivantes à la nappe (S,) : i" la droite F, F,; 2" la tatigente con- 

 juguée; 3° une des tangentes asymptotiques de (S,) en F, ; 4" la tangente 

 de (S,) qui correspond à une des tangentes asymptotiques de (Sj) en F^. 

 Si l'on désigne ces quatre tangentes respectivement |)ar les lettres d, /, 

 «,, «,, on aura 



» La définition de ces quatre droites étant évidemment |)rojective, la 



