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 » II. Il convient d'en éliminer la dérivée/ ; car l'état initial qu'exprimo 

 la fonction arbitraire /peut n'être donné que d'une manière empirique, 

 au moyen, par exemple, d'une suite de valeurs numériques difficile à diffé- 

 rcntier. ou peu propre à fournir/'. Cette élimination se fera en consi- 

 dérant à |)arl, dans le second membre de (lo), l'intégrale où figure/'. On 

 peut, en appelant \^ une quantité très grande, indépendante de a et que, 

 finalement, l'on fera croître sans limite, l'écrire 



(n) ;/ c"^' ^^—r-^ r/a / (s,n7.çV/[-/(;)]. 



» Efléctuons par parties l'intégration en ç et observons que /(;,) se. 

 confond sensiblement avec /(^). qui est la constante donnée ?/„. L'ex- 

 pre.ssion (i i) devient 



(..) 



2M^ r 



^ ^TTÂ^ sm(î,a;^a 



lff'.me-"''''''-^^^^^^^^P^^co..lrU<ic. 



). Or, ici. le premier terme est annihilé par le facteur sin(E| y.), qui, à 

 la limite ^, =: as, change de signe pour des valeurs de x infiniment rappro- 

 chées et réduit à zéro, dans les |)lus petits intervalles assignables, la va- 

 leur moyenne de la fonction sous le signe / . Il ne reste ainsi, dans (12), 



que la dernière ijarlie, celle qui constitue une intégrale double. Eu la joi- 

 gnant au terme en /(;) tlii second membre de (10), il vient l'expression 

 suivante de u, plus directement utilisable que (10) et aussi plus symé- 

 trique : 



('3) "=;// ./(O'' -^zTk. '^^'^-- 



' 



» Fourier l'avait déduite de (10) dans le cas de/t;) constant depuis 

 ? = o jusqu'à une limite \, très grande, et Poisson (' ) en adonné une 

 démonstration générale. 



» III. Siq)posons maintenant avec Fourier que la température ini- 



(') Théorie mathématique de la chaleur, p. ZiZ. 



