(4^- ) 



qu'ail troisième ordre, on peut obtenir, par une méthode assez élégante, 

 cette équation à laquelle satisfait u, sous une forme simple et symétrique. 

 La marche suivie réussirait aussi dans l'étude du problème plus général 

 où le triédre, formé par les plans tangents aux trois surfaces [u) [v] [w) à 

 leur point d'intersection, serait conjugué dans une quadrique fixe quel- 

 conque. Si cette quadrique devient le cercle de l'infini, on retrouve comme 

 cas particulier trois familles de surfaces orthogonales. 



» Les raisonnements qui suivent reposent sur l'emploi systématique 

 d'une opération différentielle, qui conduit avec une extrême simplicité à 

 l'ensemble si riche et si étendu des formules relatives aux surfaces. Elle est 

 définie par l'équation 



ou 



» On a, relativement au symbole !?„, les formules fondamentales sui- 

 vantes : 



(4) 



)) Cela posé, les équations différentielles de notre problème peuvent 



s'écrire 



5^« = 5„(' = o,..., 



et, par suite de la formule (4), on aura immédiatement l'équation (2) écrite 

 plus haut. 



» Maintenant appliquons l'opération <}„ à cette équation 



%v_râ^u^-+- n'y.!i^Uy. -+- w.i^yU^ = o, 

 nous aurons 



(fj) (VV.rO//, .+ 5„nV0,M,.+ (?„TVV(?^î/,+ w^u,/},u.r-h Wyâ„o,u,.-h w^o„o^u, = o. 



» En échangeant les symboles 5,, et 5^ dans la seconde ligne de cette 

 équation par l'emploi de la formule (4), nous aurons 



5„ 5^ u^ — ô^ (?„ u^ — — 1 {n_,., 5 ,,. + i/^y 5^ Uy ■+ u^., 5^ u^) , 



