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sont les équations des directions principales, on aura 



Im' + mL' = 



IL = / -— , mm =>.-—? 

 dA. d^ 



. dK 



et ce résultat, étant indépendant des dérivées du troisième ordre, subsiste 



alors même que la famille [u) ne fait pas partie d'un système orthogonal. 



» Par suite, en remplaçant dans R ABC par (X — x)-,..., ce qui donne 



dk 



;x - x)= 4- . . . = o, 



on aura l'équation des deux plans principaux d'une surface quelconque. 



» Dans sa dernière Communication, M. Cavley a mis l'équation du troi- 

 sième ordre sous une forme du plus haut intérêt. On peut obtenir le même 

 résultat de la manière suivante. Posons 



V' = «; + ^^; + «?; 

 on aura, en tenant compte d'une formule déjà donnée, 





4-... = o. 



J'omets la démonstration de ce résultat, qui équivaut d'ailleurs à l'une des 



formules de Lamé 



c)-H _ i du du, \ âU m. 



t'p.t'jîï H, c'p, c'pj Hj â^i â[j, 



Il suit de là que l'équation différentielle cherchée peut aussi se mettre 

 sons la forme 



(8) 



I 



O 



o 



-ii) -(v 



àj' 

 I 



"y' 

 o 



I 



o 

 o 



(j) dz 

 o 



O 



u. 



dxôz 



O 

 Ua:z 



o 



II,. 



ùxdy 

 o 



Uxy 



o 



o. 



c'est la formule de M. Cayley. On vérifie d'une manière immédiate que 

 l'équation est s;.tisfaite par le système des surfaces parallèles pour lequel 



V = coiist. ; 



