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 imaginaires) communs à deux courbes cr ordre p et p' est toujours pp'. En don- 

 nant nne première démonstration de ce théorème par le principe de cor- 

 respondance, j'ai annoncé qne le même raisonnement se prétait à une 

 seconde démonstration. C'est celle-ci qtii fait le sujet de la présente Note. 

 Cette démonstration, extrêmement simple, repose sur une seule propriété 

 des courbes géométriques, savoir : que le nombre des tangentes, réelles ou 

 imaginaires, qu'on peut mener par un point à une courbe, est constant, 

 quel que soit le point; ce qui est évident, puisque la recherche de ce nombre 

 est un problème déterminé. 



» Théorème. — Le nombre des points communs à deux courbes d'ordre p 

 et p' est pp'. 



» Démonstration. — Une droite IX, tournant autour d'un point T, ren- 

 contre la première courbe en p points a ; par chacun de ces points, on 

 mène les tangentes de la seconde courbe, qui (réelles ou imaginaires) sont 

 en nombre constant q', ce qui fait pq' tangentes; et par leurs points de 

 contact «', on mène pq' droites lU : ces pq' droites correspondent à la 

 droite IX. A une droite lU correspondent pp' droites IX ; car cette droite lU 

 rencontre la seconde courbe en p' points a', et les tangentes en ces points 

 coupent la première courbe en p'p points a, par lesquels passent les p'p 

 droites IX correspondant à lU. Il existe donc pq' -h pp' droites IX coïnci- 

 dant chacune avec une droite correspondante lU. pq' de ces droites coïn- 

 cident avec les q' tangentes de la seconde courbe, qu'on peut mener par 

 le point I ; et les pp' autres sont les droites qui passent par les points d'in- 

 tersection des deux courbes. Donc ces points d'intersection sont en nom- 

 bre pp'. Ce qu'il fallait démontrer. 



)) Observation. — Au lieu des tangentes, que l'on suppose menées de 

 chaque point de la première courbe à la seconde, on peut se servir des 

 normales : le raisonnement et la conclusion sont les mêmes. On dira : Une 

 droite IX rencontre la première courbe en p points a, de chacun desquels 

 on mène les normales de la seconde courbe, en nombre constant </', ce qui 

 fait pq' normales; par leurs pieds, on mène pq' droites lU. Une droite lU, 

 menée arbitrairement, coupe la seconde courbe en p' points; et les nor- 

 males en ces points rencontrent la première courbe en p'p points, par les- 

 quels passent p'p droites IX. Il existe donc pp' -+■ pcf droites IX qui 

 coïncident chacune avec luie droite correspondante lU. De ces coïnci- 

 dences, pq' ont lieu sur les q' normales de la seconde courbe menées par 

 le point 1 : ce sont des solutions étrangères, et chacune des pp' autres 

 coïncidences a lieu quand une droite IX passe par un point commun aux 



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