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 deux courbes, car ce point est le pied d'une normale à la seconde courbe. 

 Le théorème est donc démontré. 



» Il serait rare de trouver un pareil exemple de l'usage des tangentes ou 

 des normales, indifféremment, dans une même démonstration. 



» On conçoit que le principe de correspondance s'applique avec la même 

 facilité à la démonstration du théorème corrélatif, savoir : que le nombre 

 des tangentes communes à deux courbes de la classe n, n', respectivement, 

 est mi'. 



» Démonstration. — D'un point x d'une droite L on mène 71 tangentes 

 à la première courbe; puis, de leurs points de contact, im' tangentes à la 

 deuxième courbe, lesquelles coupent L en Jin' points u. D'un point u de L 

 on mène n' tangentes à la deuxième courbe, lesquelles rencontrent la pre- 

 mière courbe en n' m points; les tangentes en ces points coupent L en fi'm 

 points X. Il existe donc ?iri' -+- n' m points x qui coïncident chacun avec un 

 point u correspondant. Ti'm de ces points coïncident avec les m points de 

 la première courbe situés sur L. Les ?2n' autres appartiennent à ?m' tan- 

 gentes communes aux deux courbes. Donc, etc. 



» Le même raisonnement convient pour démontrer que deux courbes 

 U",, U",'. admettent [m -h n){m' + n') normales communes; ou bien, que 

 nhit' -h II') tangentes de la première courbe sont normales à la seconde. 



» Je vais donner quelques exemples de contacts d'ordre supérieur eu 

 des jioints de l'infini, exemples que l'on ne rencontre guère, je crois, dans 

 les Traités de Géométrie analytique, ainsi que dans les applications de la 

 Théorie de l'Élimination, que pour des contacts simples. 



M La tangente au point de contact des deux courbes, supposé à l'infini, 

 peut avoir quatre positions différentes qu'il y a lieu de distinguer. Elle sera 

 un des axes coordonnés, ou parallèle à un de ces axes, ou aura une direc- 

 tion quelconque, ou enfin elle sera la droite de l'infini. Ce dernier cas se 

 subdivise, relativement à la position du point de contact, qui peut être sur 

 un axe coordonné ou dans une direction quelconque. 



» I, ax-y + bxy -h ex 4- ej-x + J'y- = o, 



ax")- -h bxy -f- ex -t- c'j-x -hj 'j'^ = o. 



Faisant 



on a ICI 



PP'- [P - '")(/''- '"') - (/^ - ")(/>'-»') = N, 



N = 9 — 1 — 1 = '7. 

 Les deux courbes sont tangentes à l'axe 0.r en son point de l'infini, et 



