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 ont en ce point un contact du troisième ordre ; donc w = 3, et N — w = 4. 

 Ainsi les courbes ont quatre points communs à distance finie : deux de ces 

 points coïncident en O, où les courbes sont tangentes à l'axe O;;^"; les deux 

 autres sont sur la droite {e — e')x-\-f — /'= o. 



n r. aj^ a: -\- cj'x +Jy''^ + /•-' r£- y- + e x'-y + gxy + h x" = o, 

 ay^x -(- cy-x +/j' + b'x-j- + e'x-y + ^' xj + lï x- = o. 



» N ^ 16 — I — 4 = 1 • • Les deux courbes sont tangentes à l'axe Oy 

 à l'infini, et ont en ce point un contact du troisième ordre, ce qui leur fait 

 trois points à l'infini, outre celui qui a été compté dans la valeur de N. 

 Ainsi w = 3etN — w = 8. Les courbes ont donc huit points coaununs à 

 dislance finie. Quatre de ces points coïncident à l'origine des coordonnées, 

 où les deux courbes ont chacune un point double. Les quatre autres sont 

 déterminés par une équation du quatrième degré en j, qu'on obtient ainsi : 

 des deux équations soustraites l'une de l'autre, puis divisées par xj^ on 

 tire une expression de x en fonction de y, qui, mise dans une des équa- 

 tions, donne l'équation finale du quatrième degré. 



» IL aj-x + bj- -\- cy -1- ex'-j -\-fx'^ -t- gxy ■+- Jix = o, 

 a'j-x -\- b'y- -\- c'y + ex-y + fx"^ + gxy 4- hx = o. 



» N=:9 — I — i = 'y. Les deux courbes ont un contact du second ordre 



au point de l'infini sur Ox ; leur tangente en ce point est la droite J' = — — ; 



on a donc w = 2etN — w = 5. Ainsi jes courbes ont cinq points com- 

 muns à distance finie. L'un de ces points est à l'origine des coordonnées. 

 Les quatre autres sont déterminés par une équation finale en x ou en j^ 

 qu'on obtient sans difficulté; car des deux équations proposées on tire 

 celle-ci : 



{a — a')jx ■+- {b — b')j- -h [c — c') = o, 



et la valeur de x ou de y tirée de cette équation et mise dans l'une des 

 deux premières, donne une équation du quatrième degré. 



» ir. ax^y -\- bx-y"^ -h ex- -+- ex- y -h/'y-x -i- g j" -t- hyx = o. 

 ax'^ y -r- hx-y- -t- ex- + ex^y -^f'y'^x + g'j-- + h'yx = o. 



» N = i6 — 1 — 4 = 11- Les courbes ont à l'infini chacune un point double 

 sur l'axe Oj, et un point simple sur l'axe Ox; donc N = i6 — 4 — 1 = 1 1. 

 Mais ce point sur l'axe Ox est un contact du second ordre dont 



la tangente a pour équation y=^— -> ce qui fait deux points de plus à 



