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 l'infini. Enfin les deux courbes ont en outre un point d'intersection à l'in- 

 fini dans la direction de la droite j =z — ~.x. On a donc w = 2 -4- i =3. 



et N — 3 = 8. Ainsi les deux courbes ont huit points communs à distaoce 

 finie. Cinq de ces points coïncident à l'origine des coordonnées où les 

 deux courbes ont chacune un point double, dont une branche de chacune 

 est tangente à l'axe Ox. Les trois autres points communs aux deux courbes 

 sont déterminés par une équation finale en x ou en j'du troisième degré. 

 En effet, des deux équations proposées, soustraites l'une de l'autre, on tire 

 celle-ci : 



{f-r)j^ -^[s- i''b- + (^^ - f'')^ = o, 



et l'élimination de x ou de y entre cette équation et l'une des premières 

 conduit à l'équation du troisième degré. 



» III. g.r' — x'-y- — xy^ — 3.r y + /- = o, 



g.r^ — x-f- -+- q.t' — ijx-j — i8.r- + nj- = o. 



» N = i6 — 2.2 = 12. Les deux courbes ont un contact du second 

 ordre en un point de l'infini, situé dans la direction de la droite j-= ix 



( leur tangente en ce point ayant pour équation j= "ix — - ) • Donc oj = 3 



et IN — oi = 9. Ainsi les deux courbes ont neuf points communs à distance 

 finie. Cinq coïncident à l'origine O, où les deux courbes ont chacune un 

 point double, dont deux branches ont une tangente commune. Les quatre 

 autres points communs aux deux courbes sont déterminés par une équa- 

 tion finale en x du quatrième degré, qu'on obtient en retranchant les deux 



équations l'une de l'autre, d'où l'on conclut r = ^ ^ ; cette valeur 



de /, mise dans une des équations, la réduit au quatrième degré en x. 



» Iir. Scx' — 6x-j -+- X)-- -h 5x^ — !\xj -hj' + 3^- = o. 

 5x'- — 6xy -h j- — f\x — ar -+-3 = 0. 



)) N = 6. Les deux courbes ont deux points communs à l'infini; l'un, 

 dans la direction de la droite j^=5x, est un point d'intersection; et 

 l'autre, dans la direction de la droite j = x, est un point de contact du 



second ordre, dont la tangente a pour équation j-= x + -. ce qui fait 



quatre points communs à l'infini; donc w = 4 elN — co = 2. Ainsi les 

 deux courbes ont deux points communs à distance finie. On trouve sans 



