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 >) Cette valeur de -» mise dans la première équation, divisée d'abord 

 par x^, et écrite ainsi, 



.T- \ X^ X I X Y X^ ^ X 



la transforme en une équation du quatrième degré en -> dont les racines 

 déterminent les quatre points communs aux deux courbes. 



» V. rr.r' + bx-y + cxy^ -+- dx- -+- exy -hfx -H g y = o, 



ax- -\- bxy -\- cj- -h dx -h ey -\-j' = o, 



où l'on a 



/;^ — f\ac" = o. 



» N = 6. Les deux courbes ont un point commun à l'infini, dans la 

 direction de la droite j= x; elles sont tangentes en ce point à la 



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droite de l'infini, et ont entre elles un contact du troisième ordre; donc 

 w = 4 et N — w = 2. Ainsi les courbes ont deux points communs à dis- 

 tance finie. Et, en effet, ces pointssont accusés par l'équation 



qu'on tire des deux proposées. 



» V. X^ -+- Q.X-J- -+- XJ' — X- — /{XJ — 2X — 3j- = o, 



x^ -\- IX- y -I- X j"- — X- — 4'^;r — 3x — y =^ o, 



» N = 9 — 1 = 8. Cts deux courbes sont tangentes, à la droite de l'in- 

 fini, au point situé dans la direction j = .r, et ont en ce point un contact 

 du troisième ordre. En outre, elles sont tangentes à Taxe Oj au point 

 de l'infini; on a donc o) = 4 -H i = 5 et N = 8 — 5 = 3. Ainsi les deux 

 courbes ont trois points communs à distance finie. L'un de ces points est à 

 l'origine des coordonnées, les deux autres sont sur la droite aj" — 5x ^ o. 



» Observntion. — On facilite les calculs relatifs à des contacts d'ordre 

 supérieur en des points de l'infini, en les ramenant à des contacts de même 

 ordre à des distances finies, par une transformation homographique. Les 

 formules les plus simples sont celles-ci : 



■ .. *' ► „ ' . r' 



X=:—, r = -^) et X—-:i >■ = ■ 



par lesquelles la droite de l'infini devient un des axes coordonnés » 



