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 » Désignons par rt, le nombre des ternies de la stiite 



2, 6, 12, 30,..., A(A-+l),..., {p—2){p—l), 



qui sont compris dans la classe ( /). On les distingue à cette propriété com- 

 mune que leurs indices sont de la forme 5/^-1- /, et on les trouve aisément 

 dans les Tables de Jacobi dites Canon arilhmeticus, lorsque le nombre p est 

 compris dans les limites de ces Tables. 



» Soit p une racine imaginaire de l'équation x'^ — i = o. Le nombre 

 complexe 



est un facteur complexe du nombre |)remier/j : on sait par le théorème de 

 Cauchy et de Jacobi que l'on a 



» Posons 



Le rapport '^{p) joue ici le même rôle que le rapport — - , — - dans la 



théorie des résidus cubiques. 



» Soit i] = 5q' ■+- i un autre nombre premier. Désignons par /3 la racine 

 primitive de q, qui sert de base à une classification analogue à celle que 

 nous avons définie précédemment pour le nombre p= 5/ -H i; par >.' la 

 racine de la congruence f/^^^i (mod.5); et posons p^'^'^ie (mod.^'). 



» On aura évidemment e^ssi (mod.</), et par conséquent 



(?{e)f{e*) = p{mod.q). 

 Il résulte de là que le nombre <\i{e) se réduit à un nombre rationnel—» 



dont le numérateur m est un nombre entier non divisible par q. Ce nombre 

 à{e) est donc congru, suivant le module q, à un nombre entier non divisible 



parc. 



» Désignons enfin par c le résidu minimum positif de q\ suivant le mo- 

 dule 5. Notre loi de réciprocité pour les deux nombres premiers /j = 5/ -4- i, 

 q = 5q' -h I est exprimée par le théorème suivant : 



» Théorème I. — « La classe à laquelle appartient le nombre q parmi les 

 » non-résidus de p a pour indice le même nombre /, qui exprime la classe 

 » à hiquelle appartient, parmi les non-résidus de q, la valeur de l'expres- 

 » sion iji^e*^) (mod.</). » 



