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» Si l'on prend / = o, ']i{e) el ^{e") appartiennent à la même classe, de 

 telle sorte que l'on a l'énoncé suivant : 



» Théorème II. — « i-e nombre q est résidu ou non-résidu de cinquième 

 » puissance par ra pport à />, suivant que la valeur de l'expression ^ (e) (mod. (jf ) 

 » est un résidu ou un non-résidu de q. » 



» Comme vérification, prenons pz=ii, p'=3i. Nous aurons «7'= 6, 

 e = I , X' = I . Si nous prenons j3 = 1 7 , nous aurons e = 8. 



» D'un autre côté, en prenant a = 2 pour base de la classification par 

 rapport à 1 1 , on a 



(p(p) = 2-4- 4p + /s'+ 2|5% r^(e) = — 4, 

 (p{e^)^EE— 12, 'p(e'') SEE 5(mod. 3i), 



d'où 



Le nombre ij/(e) appartient à la classe (i), suivant le module 3i; nous con- 

 cluons de notre théorème que 3i appartient à la classe (i) suivant le mo- 

 dule 1 1, c'est-à-dire que son indice sera de la forme 6/2 -+- i . Effectivement 

 l'indice de 3 1 est 6; on a 



2° — 3i = 33 ^ o (mod. 1 1). 

 » Si l'on désigne par g le résidu minimum de |S'(aiod.(y), la congruence 



f{e} =g'".(p{e^)(p{e') (mod. 9), 



dans laquelle l'exposant m reste arbitraire, exprime la condition que doi- 

 vent remplir les coefficients du facteur complexe de p, défini plus haut et 

 désigné par 9 (p), pour que p soit résidu de cinquième puissance. D'ailleurs 

 la relation 



jointe à la condition 



«0 -+- rt, -f- «o + «3 + rt i 4- 2 = /J, 



donne les deux conditions 



~{a,—a,){a., — at) — {a„ — ih){n, — « , ) = n„-+- a, + a., + a, -)- r?, + 2. 

 On pourrait se servir de ces conditions pour chercher lès nombres pre- 



