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 miers/) de la forme 5/ + i, dont un nombre premier donné q = 5o'+ i 

 est résidu; mais l'intérêt de cette recherche ne serait pas proportionné à la 

 longueur des calculs. 



« Conservons à />, rt,, p et^[p) la signification expliquée plus haut; la 

 classific;ition du nombre 2 parmi les non-résidus de p sera déterminée par 

 le théorème suivant : 



» Théorème III. — « Le nombre 2 est résidu de cinquième puissance 

 » OH non-résidu, relativement à p, suivant que le coefficient «„ est impair 

 n OU pair; dans le second cas, l'un des coefficients a,, a^, «,, a^ est 

 » impair, tandis que les trois autres sont pairs; si l'on désigne par ct^ celui 

 » de ces coefficients qui est impair, la classe (?) du nombre 2 sera déter- 

 M minée par la congruence ^ = 2e (mod. 5). » 



» r.e nombre 3 donne lieu à un théorème analogue : 



1) Théorème IF. — « Le nombre 3 est résidu de cinquième puissance par 

 » rapporta/), si \e nombre a„{ao — a, —a :,) + {a, — a^) [ai — a^) -ta, a^— i 

 » est divisible par 3; il est non-résidu dans le cas contraire. » 



» Nouveaux théorèmes sur les nombres. — Legendre a démontré qu'aucun 

 nombre triangulaire n'est égal à un cube ; voici quelques théorèmes ana- 

 logues : 



« 1° On ne peut obtenir aucun cube en ajoutant au double d'un 

 » nombre triangulaire l'un des nombres 3, 5, 7, 1 1, 17, 4'» ^i, 77, 85, 

 » II 5. 



» 2° Si, après avoir multiplié par 18 un nombre triangulaire, on ajoute 

 » au produit l'un des nombres 5, 7, 9, i3, 19,43,63, 79, 87, 117, la 

 » somme obtenue n'est jamais égale à un cube. 



» 3° Si, après avoir multiplié par 5o les nombres triangulaires i, 3, 6, 

 » 10,..., on ajoute à chaque produit successivement les nombres 9, 11, 

 » i3, 17, a3, 47j 67, 83, 91, 121, aucune des sommes obtenues n'est un 

 » cube. 



» 4° Aucun cube n'est égal à la somme obtenue en ajoutant l'un des 

 » nombres i5, 17, 19, 23, 29, 53, 73, 89, 97, 127 au produit d'un nombre 

 » triangulaire multiplié par 98. 



» 5° Si l'on multiplie indéfiniment les nombres triangulaires par i6a, 

 » et qu'à chaque produit on ajoute successivement l'un des nombres 23, 

 » 25, 3i, 37, 61, 81, 97, io5, i35, aucune des sommes n'est un cube. » 



