( '64.) 



posées, en tête du tableau, de manière que le coefficient numérique respectif 

 se trouve sur l'une des diagonales du tableau. 

 » Pour mieux fixer les idées, soit 



(i) jc" -{- a, x"~^ + a^x"~- -H . . . -t- <•/„_, X H- a,. — o 



l'équation proposée dont 



a, «2 «3 . . . , 



seront les racines. 



» Les combinaisons des coefficients et des racines 



(3) («,...«xOM/3,...rvr(7.---7v')^ 



seront associées, si l'on a 



( XX'+p.p.'H-Vv'-t- . . := p, 



où Z sera le plus grand des exposants m, p., )>,... de la fonction symétrique, 

 et p son poids. 



)) Ainsi les indices de la combinaison (2) des coefficients deviendront 

 les exposants des racines dans la combinaison (3), et les exposants de la 

 première (a) marqueront le nombre des racines affectées du même expo- 

 sant représenté par l'indice conjoint. Par exemple (Table VIII), a^aza,, 

 a'|3^Y^5 sont combinaisons associées. 



M Cela posé, on peut ajouter à la remarque de M. Cayley celle-ci : La 

 somme de toutes les fonctions sjmétriques d'un poids donné présente la mémo 

 série de coefficients numériques par rapport à une combinaison (C) des coeffi- 

 cients que la combinaison associée (S) des racines présente par rapport à l'en- 

 semble de toutes les combinaisons des coefficients de même poids. 



» Voici une propriété nouvelle de ces séries de coefficients : Si on les 

 multiplie respectivement, ternie à terme, par les coefficients numériques poly- 

 nàmiaux correspondant au poids et qu'on additionne les produits, on aura des 

 sommes zéro, excepté une, qui sera ( — 1)''. Cela résulte de ce que ( — a,)'' est 

 la p""'"" puissance de la somme des racines. 



