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 les quatre colonnes de coefficients correspondant à la combinaison des 

 coefficients algébriques «,„ flp_, rt,, rtp_ï«2, np_,a^^ seront données |jar le 

 tableau suivant : 



(5) 



Colonnes. Valeurs des coefficients. 



«,_,«, _ (-,)'[;,r(/) -/•,(/, -.)r(/-,)], 



-(-l)'[/.r(/)-r,(r.-i)/.-2r(/-2)-2r,(^-2)r(Z-l)], 



a 



p- 



"f-."' (-')'br(/) -/•,(/, -.)r(/-,)-r,(/,-2)r(/-,)]. 



Observations. — On divisera les résultats obtenus par autant de facteurs i .2.3. . ./ qu'il 

 y a de racines élevées à la même puissance i. 



» Exemples : 



la'P^y; on a p='], /=3, coeff. o, ={—1)^7. 1 .2 = — 14 ; 

 ia'p'v; on A p = 6, /=3, coeff. Osa, = — (—1)3(6.2 — 5) = + 7; 



V 2p, .s Q , r: ce I vJ8r(5)— 2.6r(3)— 6.6r(4)l 



2a^p'7=d£; on a /> = 0, /=:5, coeff.fle^i = — — l ■ ^ —!- i— ! )^llA =— 4• 

 I .2. . . I .2.3 ^ 



2a'pY«^; ona ;> = 8, / = 4, coeff.fl.«;= ^^^lll^ [8r(4) -7 . i .2-2.6. i .] = 4- 5; 



» Ces formules sont déduites des équations aux dérivées partielles, don- 

 nées pour la première fois par M. Brioschi, qui lient entre eux les coefficients 

 de l'équation proposée et les sommes des puissances semblables, dont la 

 fonction proposée symétrique des racines peut être fonction. 



» Au moyen de ces formules, la propriété due à M. Cayley peut être, 

 pour le cas d'une ligne, aisément démontrée. Ainsi on peut voir que toute 

 la ligne des coefficients correspondant à la.P est égale à la colonne des 

 coefficients commandée par Up. En effet, par une formule connue (*) qui 

 donne le développement de j^ = la.P, le cofficient de la combinaison (2) 

 sera 



, y 1 .2.3. . .(/— l) 



P^ ^' {m')[n')[r')../ 



Or tel sera précisément en général le coefficient de la colonne a^, donnée 

 par la première des formules (5), si l'on a égard aux diviseurs qu'il faut 

 introduire d'après les observations qu'on a indiquées dans le tableau. 



(*) Serret : Cours d'Algèbre supérieure, ou bien mon Traité deJ''éliminntion. 



