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la classe (2, 3), donc elle entrera dans la classe (2). On conclut de 

 là que toute courbe du sixième ordre et de la classe (3) est située sur une 

 infinité des surfaces propres du quatrième degré. Enfin il est aisé de voir 

 que par toute courbe du sixième ordre non plane Cg passent des surfaces 

 propres du cinquième ordre. Choisissons pour cela, sur C,,, 3i points, et 

 prenons ii\ points dans l'espace; par ces 55 points passera une surface 

 du cinquième ordre, qui, en général, ne peut pas se décomposer en surfaces 

 d'un ordre moins élevé, puisque par les 24 poinis arbitraires ne peut 

 point passer une surface cubique ou une surface du second ordre. 



» On voit donc, que toute courbe du sixième ordre (3) peut être en- 

 gendrée par l'intersection d'une surface cubique par une surface du qua- 

 trième degré, et que les courbes de la classe (2) font partie de l'intersection 

 d'une surface du second ordre par une surface du quatrième ou du cin- 

 quième ordre. 



» En faisant usage des considérations émises par M. Cayley sur les 

 courbes dans l'espace [Comptes rendus, t. LIV et LVIII), on remarque que 

 le nombre des points doubles apparents d'une courbe du sixième degré, non 

 plane et propre, est au moins 6; la limite supérieure est évidemment 10. 

 Il serait inutile de démontrer successivement qu'il n'y a pas de courbes du 

 sixième ordre à i , 2, 3, 4 ou 5 points doubles apparents ; il suffira de prou- 

 ver celte assertion pour les deux derniers cas. 



» Soit donc C^ une courbe du sixième ordre non plane et à 4 points 



doubles apparents. Ses équations peuvent être supposées sous la forme 



P 

 Uj = o, W = "Y^; U, P et Q étant des fonctions entières et homogènes des 



trois coordonnées jc, y, z du degré indiqué par l'indice. Si nous faisons 

 abstraclion de la quatrième coordonnée homogène w, les équations U, = o, 

 Pj = o, Q4 = o représenteront trois courbes propres des ordres 6, 5 et 4. 

 La courbe U, aura quatre points doubles O,, O^, O3, O4 (correspondant 

 aux quatre points doubles apparents de la courbe Q vue du point jc = o, 

 j- = o, z = o), par lesquels doivent passer Pj et Q^. Cette dernière courbe 

 coupera Ug encore en 16 poinis M,,. . ., M,8, qui seront aussi situés sur P5. 

 Les vingt points O,,. . ., O4, M,,. . ., M,8 constitueraient l'intersection com- 

 plète des courbes P5 et Q,,. Pour montrer que cela ne peut pas se faire, me- 

 nons par les points O,, O,, O3, O» une conique quelconque R^ =: o. 



» Considérons alors les deux courbes du sixième degré Ug = o et 

 Q,R2 = o; ces courbes rencontrent la courbe P5 aux mêmes points 



6.5 — 1(5 - i)(5 - 2) = 24 points 0,0, O^ Oj O, O3 O, O, M, M^... M,,; 



