( 426 ) 

 donc elles coupent Pj aux mêmes points: c'est-à-dire que la conique indé- 

 terminée R2 devrait passer par les 6 points Ug = o, Pj = o qui ne sont pas 

 sur Q,, ce qui serait absurde. Ce raisonnement présuppose la condition que 

 les points O,,..., M,6 soient des points simples pour la courbe P5; quant 

 auxpoinfsM,,...,M|6,on peut toujours les supposer simples, ces points n'é- 

 tant nullement fixés parla courbe menée dans l'espace. Si l'un des points O, 

 par exemple O,, était point double delà courbe P5, il devrait être aussi 

 point double Q^, à moins qu'on ne suppose qu'il soit un des 6 points 

 iv=:o de Co, ce qui serait inutile, parce qu'on peut toujours éviter 

 un pareil cas par un simple changement du plan w = o. La courbe Q4, 

 ayant donc un point double en O, et passant par O2 O3 O4, rencontrera U, 

 en i4 autres points M,,..., Mi^ Les points O,,..., M, 4, qui doivent appar- 

 tenir aussi à P5, représenteront alors 21 points communs aux courbes 

 Ps et Q,, ce qui est impossible, puisqu'elles peuvent être supposées 

 propres. 



» On démontre, de la même manière, qu'il n'y a pas de courbes du 

 sixième ordre à 5 points doubles apparents; seulement, dans ce cas, la co- 

 nique R, passant par 5 points doubles O,,..., O5 de Ug sera déterminée, 

 et en faisant usage du théorème de Plucker déjà employé, on arrivera à la 

 certitude que R, devra passer par les 6 points tv = o de la courbe en es- 

 pace Cj. De cette manière, R2 aurait 2.5 -f- 6 = 16 points communs à la 

 courbe Uo, ce qui ne peut se faire. Cette démonstration cesse d'être exacte 

 si l'on suppose que l'un des points O, par exemple O,, soit point double de 

 la courbe P5; mais, dans ce cas, O, sera aussi point double pour Q4, et cette 

 courbe, menée par O2 O3 O4 O5, coupera Uo encore en 21 points M,,..., M,2. 

 Les points O,,.., O5, M,..., M,, représenteront alors les 20 points P5 = o, 

 Q4 = o. Soient J, R , L, 3 des 6 points w = (qui se trouvent donc sur 

 les courbes U^ el P5, sans être situés sur Q^), et soit R, = o l'équation de la 

 conique menée par JK.LO2O3; de plus, soit R, = o l'équation de la droite 

 O2O3. Alors les trois courbes du sixième ordre Uo^ o, P5R, = o,Q4 R2= o 

 possèdent, en O, O2O3, des points doubles, et en O4O5 M,,..., M, 2 JKL des 



, . , . , /. ... ^ 6 (6 + 3) 

 pomts smiples, ce qui équivaut a 20 conditions; comme 20 = i, 



il faudrait que ces trois courbes eussent les mêmes points d'intersection, ce 



qui est évidemment impossible, toutes les courbes en question étant propres. 



» Passons aux courbes du sixième ordre à six points doubles apparents. 



P 

 Soit Cg une telle courbe et soient Ug = o, n> := ~ ses équations. Uc sera 



une courbe à six points doubles O,,..., Og, par lesquels passeront les 



