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 courbes P5 et Q,, et elle pourra encore avoir un, deux, trois ou quatre 

 points doubles au point de rebroussement, ce qui donne quatorze sous- 

 espèces (voir Salmon, loc. cit., p, 89) ; mais comme ces points sont tout à 

 fait indifférents à notre raisonnement, tout ce qui suit s'appliquera égale- 

 ment à chaque sous-espèce. La courbe Q, coupera U^ encore en douze points 

 M,,..., M, 2, par lesquels doit aussi passer P5 ; cette dernière courbe déter- 

 minera sur Ug les six points tv = o de C,,, et sur Q, deux points M, 3, M,,, 

 qui ne seront pas sur Uo- On peut prouver directement qu'il y a des courbes 

 propres du cinquième degré qui passent par les dix-huit points O,,..., O^, 

 M,,..., M, 2, de Q,; en voici un exemple. Soient O ,,..., Oj; six points du plan 

 t^v = o et désignons par le symbole {ik) = o l'équation de la droite 0,0^, 

 » Si l'on pose 



U, = '(i2)(34)(56)(.3)(25)(46) + (i4)(26)(35)(i5)(24)(36) 



Q,= A,(i2)(34)(56)-hB,(i4)(26)(35) 



P, = C,Q.>+D,[(i5)(24)(36)A,-(i3)(25)(46)B.] 



A, , B, , C, , D, étant des fonctions de la forme ax -\- by -\- cz, on remarque 

 facilement que les courbes propres Uc, P^ et Q., remplissent les conditions 

 énumérées. Donc il y a des courbes du sixième ordre à six points doubles 

 apparents; l'existence des courbes à sept, huit, neuf ou dix points doubles 

 apparents devient alors évidente. 



» Une courbe du sixième ordre située sur une surface du second ordre 

 est une courbe à six, sept ou dix points doubles apparents. Soit C^ une 

 courbe située sur une surface du second ordre et A un point de cette sur- 

 face qui n'est passurC^; soit AB une droite qui rencontre CjCn deux points; 

 cette droite, ayant trois points communs avec la surface du second ordre, 

 sera une génératrice de cette surface. Donc sur les deux génératrices menées 

 par A se trouvent tous les points multiples apparents de la courbe Cg vue 

 du point A. Supposons : i" que €„ coupe les génératrices d'un système en 

 cinq points et celles de l'autre en un point, alors la courbe C,, vue du point A 

 aura un point quintuple apparent, ce qui équivaut à dix points doublas 

 apparents; 2° que C^ coupe les génératrices de la surface du second ordre 

 en quatre et en deux points, respectivement ; C^ aura un point quadruple et 

 un point double apparent, qui représentent sept points doubles apparents; 

 3° que Ce coupe chaque génératrice de la surface eu trois points; en ce cas 

 la courbe C^ aura deux points triples apparents qui équivaudront à six 

 points doubles apparents. Si donc une courbe C^ se trouve sur une surface 



