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 de la surface monoïde, on obtient 



n,5 = P^ + A, P^ Q, + A, \\ Ql + A3 Q? = o, 



équation qui représente la projection de la courbe commune à ces deux 

 surfaces. On aura donc n,5 = U6U9. La forme de l'équation 11,5 = 

 prouve que cette courbe possède aux vingt points P5 = o, Q,, = o des 

 points triples; de là on conclut que le facteur U9 aura en M, 3 et M, 4 des 

 points triples, en M,,..., M, 2 des points doubles, enfin en O,,..., Og des 

 points simples. Ces conditions suffisent, en général, pour déterminer Ug, 

 puisqu'elles sont équivalentes à 54 conditions simples. Donc il ne passera, 

 en général, qu'une surface cubique par la courbe C^. La démonstration 

 sera la même pour les courbes à sept, huit, neuf ou dix points doubles ap- 

 parents; seulement on trouvera que, dans ces cas, la courbe Ug est assu- 

 jettie respectivement à 55, 56, 5^ et 58 conditions. 



» Soit donc S3 = o l'équation de la surface cubique qui passe par une 

 courbe Ce delà classe (3); choisissons sur Cg vingt-cinq points, et menons 

 par ces points une surface du quatrième ordre S, = o, qui dépendra en- 

 core de neuf constantes et qui passera par C^. Si l'on cherche à déterminer 

 S4 de manière qu'elle ait un point triple ou, ce qui revient au même, 

 qu'elle devienne une surface monoïde, on aura pour ce point triple dix 

 conditions. Ces conditions peuvent être remplies par un choix conve- 

 nable des neuf constantes et des coordonnées du point triple. Ainsi l'on 



peut poser les équations de toute courbe du sixième ordre et de la classe (3) 



P 

 sous la forme Uo = o, w = —■• 



» 1° Courbe du sixième ordre (3) à six points doubles apparents. — La 

 courbe Q3 rencontre Ug en six points doubles O,,..., 0^ et en six points 

 simples M,,..., Mj. Ces points sont aussi les douze points P4 = 0, Q3 = o. 

 Soit w' + A, w^ -t- A2 îv -1- A3 = o l'équation de la surface cubique qui 

 passe par notre courbe C^. En éliminant w entre cette équation et l'équa- 

 tion de la surface monoïde, nous obtiendrons l'équation 



n,2 = P4' + A, P^ Q3 + A, p, Q^ + A3 Q^ = o. 



C'est l'équation de la projection de la courbe qui est l'intersection de la 

 surface cubique par la surface monoïde; donc 17,2 se décomposera en Ug 

 et un second facteur U,,, de manière qu'on aura Ilin = Uj U'g. 



» La forme de l'équation n,o = o montre que cette courbe possède, 

 aux points P, = o, Q, = o, des points triples ; mais six de ces douze points, 

 à savoir O,,..., Og, sont points doubles et les autres M,,..., Mg des points 

 simples de Ug. La courbe Ll'g = o possédera donc en M,,..., Mg des points 



