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 doubles et en O,,..., Oj des points simples. Il s'ensuit de là qu'une courbe 

 du sixième ordre (3), à six points doubles apparents, forme avec une 

 autre courbe, de même espèce et déterminée d'une manière convenable, 

 l'intersection complète d'une surface cubique par une surface du qua- 

 trième degré. 



n Par noire courbe Cj ne passe qu'une surface cubique ; car, dans le cas 

 contraire, C^ serait une partie de l'intersection de deux surfaces cubiques ; 

 donc l'autre partie serait, d'après les formules de M. Salmon, une courbe 

 du troisième ordre à nul point double apparent, c'est-à-dire une courbe 

 plane. (Si l'on suppose que la courbe du troisième ordre est formée par 

 trois droites concourantes en un point et non situées dans un plan, on ar- 

 rive à deux surfaces cubiques qui ont un point double commun et alors la 

 courbe C^ possède sept et non six points doubles apparents). De là on 

 conclut que Co serait située sur une surface du second ordre; elle ne serait 

 donc pas de la classe (3). 



» 1° Courbe du sixième ordre (3) à sept points doubles apparents. — Soient 



P 



Ufl = o, îv = -r^ ses équations. La courbe Q3 passe par sept points doubles 



O,,..., O, de Ue et coupe cette courbe encore aux points M,,..., M.,. La 

 courbe P4 passe aussi par ces onze points et rencontre Q3 encore au point Mj 

 hors deUo. Supposons l'équation de la surface cubique qui passe par notre 

 courbe C^ sous la même forme qu'auparavant ; nous aurons n,2 = Uo U'g, 

 et U g = o possédera en Mj un point triple, en M,,---, M< des points 

 doubles, et passera par O,,..., O,. On voit que l'intersection de la surface 

 cubique par la surf:ice monoïde du quatrième ordre est composée de ileux 

 courbes du sixième ordre de la même espèce (à sept points doubles appa- 

 rents). Il peut arriver qu'une courbe Co de cette espèce se trouve sur 

 deux surfaces cubiques qui, d'après les formules de M. Salmon, ont 

 alors en commun une courbe cubique à un point double apparent ou bien 

 trois droites concourantes en un point, comme il a été déjà dit. 



» 3" Courbe du sixième ordre (3) à huit points doubles apparents. — Nous 

 aurons de la même manière IIio = UoU'g, et la courbe U'g = o possédera 

 deux points triples et deux points doubles. La courbe dans l'espace fera 

 donc partie de l'intersection d'une surface cubique par une surface du 

 quatrième ordre, dont l'autre partie sera une courbe de même espèce. Les 

 formules de M.* Salmon font voir qu'ime courbe de cette espèce peut être 

 sur deux surfaces cubiques qui passent par une courbe cubiquf^ (non 

 propre) à deux points doubles apparents. 



(;. R,, 1873, i" Semestre. (T. LXXVI, N" 8.) Gl 



