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 des cercles conduit à une transformation des surfaces avec correspondance 

 (les lignes de courbure. Transformant par rayons vecteurs réciproques, on 

 Irouve le résultat énoncé par M, Darboux, qui d'ailleurs est nouveau par 

 sa démonstration et les développements qui l'accompagnent. 



» Je me propose de faire voir dans cette Note qu'î7 suffit de connaîlie 

 trois surfaces trajectoires d'une Jainille de cercles pour construire toutes les 

 autres, sans intégration préalable. 



» Soit (A) l'une des surfaces données, sur laquelle nous traçons le réseau 

 orthogonal formé par les courbes [i>), normales aux plans des cercles, et 

 leurs trajectoires (»). Soient, en A, AX tangente à (i'), AY tangente à (u) et 

 AZ normale à (A). Le point M du cercle (A) de rayon /• décrit une surface 

 trajectoire (M), dont la normale rencontre en O la droite AZ. Les sphères 

 de centre O, tangentes en A à (A), ont pour enveloppe (M). Désignons par t 

 la distance AÔ; les équations de la corde de contact calculées à l'aide de 

 mes formules habituelles et en introduisant les éléments du réseau ortho- 

 gonal sont 



xy + i(px + sY) + |z = o, 



Yg- + ^(QY-RX)-+- Jz=o. 



Mais cette droite coïncide avec l'axe radical des cercles (A) et (O), qui a 

 pour équations 



identifiant, il vient 



Y = o, rX — /Z = o; 



'- I -•= o. 



/■ r e du \ t 



R d l\ 



r de \ t 



Pour que ces équations soient compatibles, il faut que 



I d /f\ d /P\ d /R\ / R 



t </.' \r ) dv \r ) du \ 



= O. 



Si les cercles sont normaux à deux surfaces distinctes de (A), l'équation est 

 identique, puisqu'elle est vérifiée par deux valeurs de t, et il y a toute une 

 famille de surfaces trajectoires. En désignant par U une fonction de u 

 seule, les équations qui expriment l'identité donnent 



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