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 ce qui conduit à l'intégrale des surfaces trajectoires 



i. = U (a + c), 



où c est la constante relative à chaque surface. Si l'on connaît deux surfaces 

 trajectoires distinctes de (A), on détermine U et © en fonction des deux va- 

 leurs t, cl t., qui y correspondent, et l'on a 



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e f, c — c, 



Géométriquement, les normales à trois surfaces trajectoires rencontrent la 

 normale à une quatrième trajectoire en trois points qui forment avec le pied de 

 celle-ci un groupe dont le rapport anharmonique est constant. 



» Ce théorème permet de construire le système cyclique par surfaces 

 individuelles, correspondant aux diverses valeurs du rapport anharmo- 

 nique; mais on peut mettre l'intégrale sous une forme telle que les surfaces 

 soient accouplées. 



» Dans le plan des ZX l'équation de la normale à (M) est 



(i) arUfç; + c)Z= [\J-r-{(p + cf-i]X-h2r: 



En y remplaçant c par c, et c.,, on a les normales des surfaces (M,) et (M2), 

 qui se coupent au point S, dont les coordonnées X et Y vérifient l'équa- 

 tion 



(2) 2Z = U/'(/t-+ 2'j)X, 



où k est égale à Cj + Co, obtenue en retranchant les équations des deux 

 normales. (S) est la surface des centres d'une famille de sphères qui a pour 

 enveloppe (M,) et (M2), et les équations (i ) et (2), oùc et ^ peuvent prendre 

 toutes les valeurs possibles, définissent toutes les surfaces (S). Comme pre- 

 mière conséquence : 



M Si l'on prolonge la normale à une surface trajectoire (M3) jusqu'à la ren- 

 contre avec AS, et que du point d'intersection on mène une seconde tangente au 

 cercle, le lieu du point de contact est une surface trajectoire. 



» En particulier, la droite AS coupe le cercle en ini second point A' qui dé- 

 crit une suijace trajectoire. 



» Il est clair que AS peut être remplacée par toute droite joignant à 

 chaque instant deux points qui décrivent des surfaces trajectoires. J'appel- 

 lerai ces droites des cordes et points limites d'une corde ses points d'intersec- 

 tion avec le cercle. 



