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 telle que A. Ces droites appartiennent à une surface (A). Les droites en- 

 traînées en même temps queD, et qui deviennent successivement des axes 

 instantanés, c'est-à-dire des génératrices de (A), appartiennent à une autre 

 surface gauche. Il est facile de voir que cette dernière surface roule sur (A) 

 pendant le déplacement continu de D, et qu'à chaque instant elle se rac- 

 corde avec (A). 



» A chacune des trajectoires de a correspond une autre surface telle 

 que (A). Nous avons donc ce théorème connu : 



» Théorème 1. — Une surface réglée peut être engendrée d'une infinité de 

 manières par une de ses génératrices entraînée pendant le roulement d'une sur- 

 face réglée sur une autre surface réglée. A chaque instant, ces deux dernières 

 surfaces se raccordent suivant un axe instantané. 



» Puisque a, pour un déplacement infiniment petit, tourne autour de A, 

 la tangente à la trajectoire de ce point est perpendiculaire au plan [a, A). 

 Cette tangente rencontre D et la génératrice D, infiniment voisine de D; 

 elle rencontre donc deux droites et est parallèle à un plan perpendicu- 

 laire à A. Il en est de même des tangentes aux trajectoires de tous les points 

 de D. Ces droites appartiennent donc à un paraboloïde hyperbolique. On 

 voit donc que : 



» Théorème II. — Les tangentes aux trajectoires de tous les points d'une 

 droite D appartiennent à un paraboloïde hyperbolique dont un plan directeur 

 est perpendiculaire à la droite A, conjuguée de D (i). 



» Après un premier déplacement infiniment petit de D, le point a est 

 venu en a, sur D,, et la droite aa, est une génératrice de ce paraboloïde. 

 Après un nouveau déplacement infiniment petit. «, vient en a^ sur Do, et 

 la droite a, a^, est la génératrice d'un autre paraboloïde. Ces deux para- 

 boloïdes ont en commun la droite D,. Le plan («, a,, «2), qui contient les 

 droites aa^, a, a^, est tangent à chacun de ces paraboloïdes. Ce plan n'est 

 autre que le plan osculateur en a à la trajectoire de ce point. Les plans 

 osculateurs des autres points de D étant tangents aux mêmes parabo- 

 loïdes, leur enveloppe est la surface développable circonscrite à deux para- 

 boloïdes ayant une génératrice commune, c'est-à-dire une développable 

 du quatrième ordre et de la troisième classe. Ainsi : 



» Théorème III. — A un instant quelconque du déplacement d'une droite D, 



(i) Fair, dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, séance du 

 a6 juin 1843, le Wéiiioire de M. Chastes Sur les propriétés géométriques relatives au mouve- 

 ment injîniment petit d'un corps solide libre dans Pespace. 



