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 les plans oscidateiirs des trajectoires des points de cette droite enveloppent une 

 surface dévetoppable du quatrième ordre et de la troisième classe. 



» Ce tliéorème est un cas particulier de celui qu'on obtient en prenant 

 le corrélatif du théorème suivant : 



» Quand autour de trois droites données dans l'espace on fait tourner trois 

 plans formant trois faisceaux homoijrapliiques, le point d'intersection de ces trois 

 plans décrit une courbe gauche du troisième ordre (i). 



» Mais il est essentiel de remarquer que, dans le cas du déplacement 

 d'une droite D, le plan osculateur, correspondant à la trajectoire du point 

 qui est à l'infini sur cette droite, est lui-même à l'infini. 



» Nous avons déjà dit que la tangente aa, à la trajectoire de a est per- 

 pendiculaire au plan (rt, A). Il en est de même pour tous les points de D, 

 c'est-à-dire que ies plans normaux aux trajectoires des points de cette 

 droite passent par A. Les plans passant par les points de D et par la 

 droite A', qui doit devenir l'axe instantané, sont les plans qui, après un 

 déplacement infiniment peiit, seront normaux aux trajectoires des points 

 de D. Nous avons ainsi deux faisceaux de plans dont les arêtes sont A et A'. 

 Les plans de ces faisceaux passant respectivement par les mêmes points 

 de D sont homographiques. Lorsque la droite A' viendra en A, en entraî- 

 nant le faisceau dont elle est l'arête, les plans de ce faisceau, après ce dé- 

 placement, couperont alors les plans du faisceau dont A est l'arête, suivant 

 les axes de courbure des trajectoires des points de D. Ces axes de cour- 

 bure, résultant de l'intersection des plans de deux faisceaux homogra- 

 phiques, appartiennent à une surface du second ordre qui contient A et A,, 

 c'est-à-dire qui se raccorde avec la surface (A). De là ce théorème : 



» Théorème IV. — J un instant (juclcompie du déplacement continu d'une 

 droite, les axes d^ courbure des trajectoires de tous les points de celte droite ap- 

 partiennent à une surface du second ordre (2). 



» Je dis que cette surface du second ordre est un hyperboloïde. Pour le 

 prouver, il suffit de faire voir qu'en général il n'y a pas de point sur D 

 pour lequel l'axe de courbure de sa trajectoire soit à l'infini; c'est-à-dire 

 qu'il n'y a pas de point de 1^ qui soit un point d'inflexion sur sa trajec- 

 toire. Démontrons d'abord cette propriété. 



(1) F'oir, dans les Comptes rendus de f Académie des Sciences, séance du 10 août iHSy, 

 le Bléiiioire de M. Chasies Sur les propriétés des courbes à double courbure du troisième 

 ordre, 



(2) F'oir, dans le Bulletin de la Société Philuinathique, séance du aS juin 18'jo, une Note 

 de M. Haa^j. 



