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» Si un point rt de D était un point d'inflexion sur sa trajectoire, les 

 deux positions successives et infiniment voisines de a, c'est-à-dire a, et «,, 

 appartiendraient avec a à une même droite. Nous avons dit que aa, était 

 parallèle à un plan perpendiculaire à A, et que fl.rt^ était parallèle à un 

 plan perpendiculaire à A, : la droite an.rtj, si elle existait, devrait donc 

 être parallèle à l'intersection de ces deux plans; mais le plan mené par la 

 droite commune à uos deux paraboloïdes, parallèlement à cette droite 

 d'intersection de leurs plans directeurs, ne touche pas nécessairement ces 

 deux paraboloïdes au même point a. Cela devrait être pour avoir en ligne 

 droite les points a, a,,a.i. Donc il n'existe pas de point a qui soit un point 

 d'inflexion sur sa trajectoire. Ainsi : 



» Théorème V. — En général, il ny a pas sur une droite mobile un point 

 qui soit point d' inflexion sur sa trajectoire. 



» Le raisonnement que nous venons d'employer n'est plus applicable 

 lorsqu'il s'agit du déplacement d'une droite sur un plan. 



» Le théorème V peut encore se démontrer de la manière suivante : 

 S'il existe un point a sur D qui soit point d'inflexion sin* sa trajectoire, ce 

 point doit se déplacer dans la direction de l'asymptote de l'indicatrice de (D) 

 en a. La tangente à la trajectoire de ce point est donc nécessairement pa- 

 rallèle à l'une des génératrices du cône directeur de l'hyperboloïde oscu- 

 lateur de (D) suivant D. Nous venons de dire que la tangente à la trajectoire 

 d'un point qui est point d'inflexion sur sa trajectoire est parallèle à l'inter- 

 section de deux certains plans. Comme nous pouvons disposer de ces plans 

 de façon que leur droite d'intersection ne soit pas parallèle à l'une des géné- 

 ratrices du cône dont je viens de parler, nous voyons bien qu'alors il n'y 

 aura pas de point sur D qui soit point d'inflexion sur sa trajectoire. 



» Et si nous revenons à la surface du deuxième ordre, lieu des axes de 

 courbure des trajectoires des points de D,, nous pouvons dire que, ces axes 

 étant à distance finie, cette surface est un hyperboloïde. 



» Cet hyperboloïde a pour cône directeur un cône du second ordre, 

 dont les génératrices sont respectivement parallèles à ces axes de courbure 

 et, par suite, perpendiculaires aux plans osculateurs des tiajectoires des 

 points de D. Il résulte de là que : 



» Théorème VI. — Si d'un point de l'espace on mène des j)lans parallèles 

 aux plans osculateurs des trajectoires de tous les points d une droite, ces jylans 

 enveloppent un cône du second ordre; ou, en d'autres termes, la développable 

 du quatrième ordre, qui est i enveloppe des j)lans osculatews des trajectoires de 

 tous les points d'une droite, a un cône directeur qui est du second ordre. 



