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 » Dans une prochaine Communication, je donnerai les solutions de 

 questions relatives au même sujet. 



GÉOMÉTRIE. — Su7' les courbes du sixiètne ordre à double courbure; 

 Note de M. Ed. Weyr, présentée par M. Chasles. 



« Courbes du sixième ordre de la classe (2). — J'ai désigné par ce symliolc 

 les courbes du sixième ordre qui se trouvent sur une surface du second 

 ordre n'étant sur aucune surface cubique. La première condition fait voir 

 que ce sont des courbes à 6, 7 ou 10 points doubles apparents; de la se- 

 conde nous déduirons immédiatement qu'il ne peut y avoir des courbes 

 qu'à 7 ou 10 points doubles apparents. 



)) Soit en effet C^ une courbe du sixième degré (2) à 6 points doubles 



apparents. Prenons un point quelconque de la surface du second ordre qui 



contient Cg pour le point x = o, j- =: o, z = o; les équations de Cg seront 



P 

 alors Ug = o, tv = — -% U,; étant une courbe à 2 points triples 0,,02, Qi 



étant la droite OjOa, et Pj = o enfin représentant une conique qui passe par 

 0| etOj. Je dis que par Cg passent toujours des surfaces cubiques; car la 

 surface w^ ■+- A, w'^ -h- AaH' + A3 = o contiendra Cg, si nous pouvons déter- 

 miner les fonctions A,, Ao, A3, de telle sorte qu'on ait identiquement 



ng = P^ + A,P^Q, + A,P,QÎ+ A3QÏ = Ug. 



Mais cela peut toujours se faire. La courbe Ug possède aux points Pa = o, 

 Q, = o, c'est-à-dire aux points 0,,02, des points triples, qui représentent 

 donc 18 points d'intersection Kg = o, Ug = o; si donc on détermine les 

 19 constantes contenues dans A,, A, et A3 de manière à faire passer Ilg par 

 d'autres 19 points de Ug, les courbes Ilg et Ug ayant 18 + 19 points com- 

 muns seront identiques, ce qu'il fallait démontrer. 



» Il n'y a donc pas de courbes du sixième ordre de la classe (2)36 points 

 doubles apparents. 



» Considérons une courbe du sixième ordre (2) à 7 points doubles 



apparents. Le point x = o, y = o, z = o étant sur la surface du second 



p 

 degré qui passe par notre courbe Cg, ses équations seront Ug = o, \v = —'■ 



Ug sera alors une courbe à i point quadruple O, et à i point double Oo, 



qui appartiennent ainsi aux courbes Po et Q,. Par une telle combe Cj ne 



passe en effet aucune surface cubique, car en ce cas Cg, étant l'intersection 



p. 

 complète d'une telle surface par la surface w = -^j n'aurait que 6 points 



