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 doubles apparents. Cela se peut d'ailleurs aussi démontrer de la manière 

 suivante. Si la surface n-' + k^w- -f- AoW + A, = o contenait Ce, on devrait 

 avoir identiquement 



ne = P^-t- A, P^Q, H- A,P,Q?+ A3Q?= Ue; 



ce qui est impossible, puisque ITe possède en O2 i point triple, tandis que Ug 

 n'a que i point double en Oo. La courbe considérée Cç est donc bien de la 

 classe (2). Par C,, passent toujoiu's des surfaces du quatrième ordre. En 

 effet, la surface w'' -h A, n^' + A,"'' 4- A3W + A, = o sera menée par Ce, si 

 l'on a 



ns= P* + A, P^Q, + A.P^Q^ + A3P,Q?+ A,QÎ = U^U,. 



Les points O, et Oo étant quadruples pour flg représentent 20 points 

 communs à Ej et \3^; en déterminant d'une manière convenable les 34 con- 

 stantes en A,, Ao, A3, A.,, on fera de telle sorte que Ug constitue une partie 

 de Ils. I^^ point O, n'étant que double pour Uc et quadruple pour Ilg, il 

 s'ensuit de là que la conique U, sera constituée par deux droites passant 

 par Oo. Donc chaque courbe du sixième ordre de la classe (2) à 7 points 

 doubles apparents est l'intersection partielle d'une surface du quatrième 

 degré par une surface du second degré, qui ont deux droites gauches en 

 commun. 



» Soit enfin Ce une courbe du sixième ordre (2) à 10 points doubles 

 apparents. Supposons toujours que le point x = o, / = o, z = o se trouve 

 sur la surface du second ordre passant par Ce ; les équations de cette courbe 

 seront 



TT P= 



Ue = o, h' = ô:' 



La courbe Uo n'aura que i point quintuple O, par lequel passeront P2 et Q,; 

 ces deux courbes auront encore 1 point commun M, situé sur Uo. Par 

 une telle courbe Cj ne passe aucune surface cubique; cela exigerait 

 l'identité 



De = P^, + A,P2,Q, + A,P,Q? + A3Q? = Ue , 



ce qui ne peut se faire, puisque rie a i point triple en M,. De plus, par Ce 

 ne peut être menée aucune surface du quatrième ordre; car, cela étant, on 



aurait 



n, = Pï + A.P^Q, 4- . . . + A,Q1 = U„U„ 



ce qui ne se peut pas, puisque ITj possède en M, i point quadruple, tandis 

 que la courbe UeU, = o n'y peut avoir au plus que i point triple. Enfin 



