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 nous savons que par Ce passent des surfaces du cinquième ordre. Soit 



îv' -t- A,TV* + . . . 4- As = o 



l'équation d'une telle surface; on aura 



n,o = P^ -t- A.P^Q, + . . . 4- A,Q^ = UoU,. 



» La courbe IIio possède aux points O et M,(P2 = o, Q, = o) des 

 points quintuples; il s'ensuit que M, sera un point quadruple pour la 

 courbe U,, ou bien que la courbe U4 sera constituée par le système de 

 quatre droites passant par M,. On conclut de là que chaque courbe du 

 sixième ordre (2), à 10 points doubles apparents, est l'intersection d'une 

 siu'face du second degré par une surface du quatrième ordre passant par 

 quatre génér-atrices qui font partie du même système de la première 

 surface. 



» Les espèces de courbes du sixième ordre non planes sont donc les 

 suivantes : 



» A. Courbes de la classe (2 .3). — H y a nne seule espèce 2.3 à 6 points 

 doubles apparents; toute courbe du sixième ordre à 6 points doubles ap- 

 parents qui provient de l'intersection de deux surfaces cubiques appartient 

 aussi à cette espèce. 



» B. Courbes de la classe (3). — Il y a cinq espèces représentées par les 

 symboles 



. (M), (M), (M), (M), (M), 



et respectivement à 6, 7, 8, 9, 10 points doubles apparents; ces symboles 

 signifient qu'une telle courbe constitue, avec une courbe de même espèce, 

 l'intersection complète d'une surface cubique par une surface du quatrième 

 ordre. Les courbes du sixième ordre qui proviennent de l'intersection de 

 deux surfaces cubiques ne sont que des courbes spéciales de ces quatre 

 premières espèces. 



» C. Courbes de la classe (2). — I' y a deux espèces : l'une à 7 points 

 doubles apparents, qui sera représentée par le symbole 2.4 — 1 — i ; l'autre 

 a. 5 — I — I — I — I, àio points doubles apparents. Par ces courbes ne passe 

 aucune surface cubique, et même, par la dernière, ne peut passer aucune 

 surface du quatrième ordre. 



» Il serait facile d'énumérer les sous-espèces de toutes ces courbes. » 



c. R.; 1873, i" Semestre. (T. LXXVI, N» 9.) 7 I 



