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surtout quand on se propose d'étudier les conditions de possibilité du dé- 

 veloppement de la fonction / par la série de Taylor. 



» M. Marie s'est occupé spécialement de ce dernier problème, que l'on 

 peut poser comme il suit : Étant données la valeur initiale a de x et la va- 

 leur correspondante b de y, trouver dans quelles limites la fonction y peut 

 être développée en une série convergente ordonnée suivant les puissances 

 entières et positives de x — a. 



» On sait par les travaux de Cauchy qu'un tel développement subsiste 

 tant que le point mobile M, correspondant à x, reste dans l'intérieur d'un 

 cercle, qui a pour centre le point A correspondant à a et qui ne renferme 

 aucun point critique, c'est-k-dire aucun point correspondant à une valeur 

 critique de x. 



)) Mais il convient de faire ici une distinction sur laquelle M. Marie in- 

 siste dans son premier Mémoire. Le point M, décrivant un chemin continu 

 à partir de la position initiale A, peut arriver dans une position C qui soit 

 critique pour quelques-unes des valeurs de j, que détermine l'équation 



f{jc, y) = o, 



et qui ne le soit pas pour les antres. Dans ce cas, la circonférence décrite 

 du point A comme centre avec AC pour rayon ne limitera la convergence 

 de la série que si le point C est critique pour la racine particulière j' que 

 l'on considère. 11 ne serait donc pas exact de dire d'une manière générale 

 que la convergence est limitée par la circonférence dont le rayon est la dis- 

 tance du point A au plus voisin de tous les points critiques répondant aux 

 diverses racines de l'équation 



/(x,7) = o. 



» Cette distinction n'a sans doute pas échappé à la plupart des Géo- 

 mètres qui se sont occupés de ces questions; cependant elle n'a pas tou- 

 jours été formulée assez nettement, et le rapporteur pourrait citer un pas- 

 sage de ses propres écrits d'où il semblerait résulter que la circonférence 

 de moindre rayon donne toujours la limite de la convergence. Il est vrai 

 que cette interprétation se trouve démentie par un autre passage du même 

 Mémoire; mais enfin on doit reconnaître que, si l'erreur n'a pas existé dans 

 l'esprit de l'auteur, son langage n'a pas été suffisamment correct. Quoi qu'il 

 en soit, M. Marie a eu raison d'insister sur la nécessité de faire cesser la 

 confusion qui pourrait rester à cet égard dans quelques esprits (*). 



(*) Dans le préambule de son travail, M. Marie signale plusieurs auteurs comme n'ayant 



