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 » Cette remarque faite, M. Marie s'est proposé de traiter la question 

 suivante : 



» Une équation 



f{x,jr) = o 



étant donnée, et une fonction particulière j* étant choisie parmi celles que 

 détermine l'équation, assigner le rayon du cercle de convergence corres- 

 pondant à une valeur initiale donnée de x. 



» On voit aisément que ce problème se ramène à celui-ci : 

 » Étant donnés deux points A et B correspondant à des valeurs a et b 

 de X, étant donnée de plus, parmi les racines de l'équation 



/(rt, 7) = o, 



celle qu'on regarde comme la valeur initiale de /, assigner, parmi les ra- 

 cines de l'équation 



f{b,jr) = 0, 



celle qui est la valeur finale dej-, en supposant connu le chemin par lequel 

 le point mobile correspondant à la variable x est allé de A en B. 



» La solution générale de ce problème dépasse sans doute les forces ac- 

 tuelles de l'Analyse, et les procédés qu'on peut imaginer pour le traiter ne 

 sont pratiquement applicables qu'à des équations d'une simplicité excep- 

 tionnelle. La méthode que M. Marie propose de suivre, et qu'il a effective- 

 ment apphquée à plusieurs exemples, repose sur un mode de représenta- 

 tion des imaginaires qui lui est propre et qui consiste à considérer les va- 

 leurs 



X = a -h ^i, j — a' -^ ^' i, 



satisfaisant à l'équation 



/(.r, 7) = o, 



comme répondant à un point réel, ayant «-f-/3 pour abscisse et a'-l- /3' 

 pour ordonnée. Il arrive ainsi à représenter la marche des solutions imagi- 

 naires d'une équation 



y(x, j) = o, 



pas connu la vraie limite de la région de convergence; à notre avis, on peut tout au plus 

 leur reprocher des inexactitudes de rédaction qui s'expliquent par cette circonstance, que 

 la limitation précise de la convergence était inutile aux recherches de ces géomètres. Quant 

 à MM. Briot et Bouquet, que M. Marie comprend dans ses critiques, nous n'avons aperçu 

 dans leurs Ouvrages aucun passage qui y donnât prise. 



