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 qui soient points d'inflexion sur leurs trajectoires, tous les points de la 

 droite D jouissent de la même propriété. 



M Occupons-nous maintenant des normales principales des trajectoires 

 des points de D. Construisons la normale principale en a k la trajectoire 

 de ce point. Cette droite est dans le plan {a, A) qui est normal en a à cette 

 trajectoire. Ce plan normal coupe l'hyperboloïde des axes de courbure 

 suivant l'axe de courbure relatif à cette trajectoire; la normale principale 

 est donc la perpendiculaire abaissée du point a sur cette droite. 



» L'hyperboloïde des axes de courbure, comme nous l'avons fait remar- 

 quer, contient A. Il sera donc défini, en supposant données deux droites 

 du même système que A. Appelons G et H ces deux droites. Pour construire 

 une normale principale, on opère alors ainsi : par A on mène un plan quel- 

 conque; ce plan coupe D au point a, G au point g et H au point h; du 

 point a on abaisse la perpendiculaire ac sur gh : la droite ac est la nor- 

 male principale en a, et le pied de cette perpendiculaire est le centre de 

 courbure de la trajectoire de ce point. Lorsque le plan que nous venons 

 de mener par A tourne autour de cette droite, la droite ac engendre la sur- 

 face des normales principales des trajectoires des points de D, et le point c 

 décrit la courbe lieu des centres de courbure de ces trajectoires. 



» Occupons-nous d'abord de la surface formée par les normales princi- 

 pales. Je dis que le cône directeur de cette surface est du troisième ordre. 



» Prenons un point quelconque / sur A, et construisons le cône directeur 

 de l'hyperboloïde des axes de courbure de façon qu'il ait son sommet en l. 

 Ce cône, qui est du second ordre, contient A, et tout plan mené par cette 

 droite le coupe suivant une seule génératrice. La perpendiculaire à cette 

 génératrice, située dans ce plan sécant et menée du point l, est parallèle 

 à l'une des normales principales. Le lieu des perpendiculaires ainsi 

 construites constitue le cône directeur de la surface des normales prin- 

 cipales. 



» On voit déjà que tout plan mené par A coupe ce cône suivant une 

 droite; mais A, étant perpendicidaire à deux génératrices de Thyperbo- 

 loide des axes de courbure, est une génératrice double sur ce cône di- 

 recteur. Le plan sécant mené par A renferme une droite et la ligne double A ; 

 donc le cône directeur est du troisième ordre. Ainsi : 



» Théorème IL — Le cône directeur de la surface des normales princi- 

 pales des trajectoires de tous les points d'une droite est un cône du troisième 

 ordre qui a une génératrice double. 



» Menons le plan (Z, D), ce plan coupe ce cône directeur suivant trois 



