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 droites. Ces trois droites sont les normales principales que l'on peut con- 

 struire à partir du point l. Puisqu'à partir d'un point quelconque de A on 

 peut construire trois normales principales, la droite A est une droite triple 

 de la surface des normales principales. Tout plan mené par A coupant, en 

 outre, cette surface suivant une droite, on voit alors qu'elle est du qua- 

 trième ordre. Ainsi : 



» Théorème 111. — La surf ace jormée par les normales principales des tra- 

 jectoires de tous les points d'une droite est une surface du quatrième ordre qui 

 possède une droite triple. 



» L'intersection de cette surface avec l'hyperboloïde des axes de cour- 

 bure est la courbe des centres de courbure. On voit ainsi immédiatement 

 que cette courbe est du cinquième ordre. 



» Nous allons arriver autrement à ce résultat. Considérons le point c 

 comme sommet d'un angle droit dont l'un des côtés s'appuie sur D et A, 

 l'autre côté sur G et H. Le point c appartient alors à une surface du qua- 

 trième ordre, qui contient les quatre droites D, A, G, H; car sur le côté 

 gh de l'angle droit il y a deux points tels que c, et les points g, h font 

 partie du lieu. Celte surface est donc du quatrième ordre, et, comme elle 

 contient les trois droites A, G, H de l'hyperboloïde des axes de courbure, 

 elle coupe cette surface suivant ime courbe du cinquième ordre. Ainsi : 



» Théorème IV. — Le lieu des centres de courbure des trajectoires de tous 

 les points d'une droite est une courbe du cinquième ordre. 



» Cette courbe rencontre le plan de l'infini en cinq points, dont un, 

 toujours réel , est le centre de courbure de la trajectoire du point qui est à 

 l'infini sur D. Les quatre points restants sur le plan de l'infini doivent être 

 imaginaires, puisque nous avons vu qu'en général il n'y a pas, sur une 

 droite, de point qui soit point d'inflexion sur sa trajectoire. Ainsi, sur une 

 droite quelconque, il y a quatre points imaginaires dont les trajectoires 

 ont leurs centres de courbure à l'infini, et, par suite, dans un corps quel- 

 conque que l'on déplace, les points qui sont points d'inflexion sur leurs 

 trajectoires appartiennent à une surface imaginaire du quatrième ordre. 

 Si parmi ces points il y en a de réels, ils ne peuvent être que sur une ligne 

 double de cette surface. Nous pouvons donc énoncer ce théorème : 



)> Théorème V. — A un instant quelconque du déplacement d'une figure de 

 forme invariable, les points de cette figure qui sont points d'inflexion sur leurs 

 trajectoires appartietment à une surface imaginaire du quatrième ordre, et, s'il 

 existe des points réels de cette nature, ils sont sur une ligne double de celte 

 surface. 



