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MÉMOIRES PRÉSENTÉS. 



ANALYSE. — Classification des intégrales quadratrices des courbes algébriques. 

 Mémoire de M. Max. Marie. (Extrait par l'auteur. ) 



(Commissaires précédemment nommés : MM. Bertrand, Bonnet, Puiseux.) 



« Il existe dans chaque degré des courbes quarrables algébriquement, 

 d'autres dont les quadratures dépendent des fonctions circulaires, d'autres 

 qui se quarrent à l'aide des fonctions elliptiques, d'autres enfin dont les 

 aires dépendraient de transcendantes à plus de deux périodes, 



» Les transcendantes qui présentent des nombres différents de périodes 

 sont irréductibles les unes aux autres, tandis que le contraire paraît être la 

 règle pour celles qui en présentent le même non)bre. 



» 11 paraît donc rationnel de classer les transcendantes d'origine algé- 

 brique d'après le nombre des périodes qu'elles présentent. On peut, en 

 tout cas, adopter d'abord ce mode de classification, sauf à distinguer en- 

 suite entre les transcendantes d'une même classe, s'il y a lieu. 



» Il faudrait, pour atteindre ce but, déterminer d'abord le nombre 

 maximum de périodes que puisse présenter la quadratrice d'une courbe de 

 degré iri', en second lieu, les conditions dans lesquelles ces périodes dispa- 

 raîtraient. 



» La première question est indépendante de la seconde, mais on peut 

 l'y ramener; car on connaîtra le nombre des périodes qui existaient d'abord, 

 en comptant celles qu'on aura fait disparaître, lorsqu'il n'en existera plus. 

 C'est cette marche que nous suivrons. 



)) Les questions dont il s'agit ont depuis longtemps attiré l'attention des 

 géomètres. Ainsi M. Jordan, dit dans sa Thèse, soutenue en 1861, que 

 M. Puiseux lui a parlé d'une formule du nombre des périodes de la qua- 

 dratrice d'une courbe de degré m, laissée par Cauchy dans une Note dont, 

 au reste, il ne fait pas connaître le texte. M. Jordan ajoute que M. Puiseux 

 lui a communiqué sur ce même sujet « des recherches inédites, datant de 

 » i85i, d'où résultait la solution complète de la question dans le cas où 

 » tous les points critiques étaient distincts les uns des autres », mais il ne 

 fait pas connaître non plus la formule à laquelle était arrivé M. Puiseux. 

 Celle qu'adopte M. Jordan est [m — I)^ Après avoir donné cette formule, 

 il ajoute : 



« Toutes ces périodes sont-elles distinctes les unes des autres, ou ne serait-il pas possible 



