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 plétement en devenant nulles ou infinies; soit de ce que, tout en per- 

 sistant isolément, elles deviennent égales, ou, plus généralement, satisfont à 

 quelques relations linéaires à coefficients entiers; soit enfin de ce que les 

 périodes viennent se fondre en une seule par suite d'une juxtaposition de 

 leurs figures géométriques. 



» La première et la troisième question sont d'ordre purement géomé- 

 trique et pourront être complètement résolues. Au contraire la deuxième 

 appartient au domaine de l'analyse ; mais elle ne sera jamais résolue 

 complètement, parce que les combinaisons qu'il faudrait passer en revue 

 seraient en nombre infini, et nous l'écarterons pour cette raison, ou du 

 moins nous n'en retiendrons que la recherche des conditions dans les- 

 quelles quelques périodes deviendraient égales. 



» Avant de proposer les solutions que j'ai obtenues des questions indi- 

 quées dans ce qui précède, je crois pouvoir répéter que les éléments s'en 

 trouvaient déjà complets dans le Mémoire sur les intégrales simples et doubles 

 que M. Bonnet avait bien voulu présenter pour moi en i852 à M. Bomard, 

 alors Directeur des études à l'École Polytechnique, pour être inséré dans 

 le Journal de l'Ecole, Mémoire qui fut alors repoussé, sur le rapport de 

 M. Duhamel, et qui, pour cette raison, ne parut qu'en 1869 dans le /oi/nin/ 

 de Mathématiques jnwes et appliquées, mais dont j'adressai une copie à l'Aca- 

 démie en i853, présentation qui donna lieu au rapport de MM. Cauchy 

 et Sturm en i854. 



» En donnant dans ce Mémoire l'interprétation géométrique des périodes 

 des intégrales simples et doubles, je donnais le moyen de les compter 

 dans chaque cas, de sorte qu'il eût suffi de discuter la courbe la plus 

 générale d'un degré donné pour assigner le nombre des périodes de sa 

 quadralrice. D'un autre côté, la théorie des intégrales doubles, telle que 

 je l'ai établie dans ce Mémoire, reposait précisément sur la connaissance 

 préalable de la condition nécessaire pour que la quadratrice d'une section 

 plane de la surface à cuber eût une période nulle, condition qui consiste 

 en ce que le plan de cette section soit tangent à la surface, ou que la 

 section ait un point double. 



» Je rappelle aussi que j'avais établi dans ce même Mémoire que les 

 quadratrices d'une même courbe, rapportées successivement à différents 

 systèmes d'axes, ont toujours mêmes périodes ; cette remarque était 

 nécessaire pour expliquer l'usage que je fais du terme générai de quadra- 

 lrice d'une courbe donnée, sans spécifier le système d'axes auquel cette 

 courbe est rapportée. » 



