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 cette formule représentera encore la période de la quadratrice du lieu re- 

 présenté par la même équation, quels qu'en soient les coefficients; cest- 

 à-dire, quand même la courbe, tout en restant réelle, deviendrait parabo- 

 lique; quand même la courbe deviendrait évanouissante et quand même, 

 les coefficients de l'équation devenant imaginaires, les conjuguées de la 

 courbe s'élèveraient au quatrième degré. 



» La même généralité des résultats se retrouve dans les cas les plus par- 

 ticuliers. Ainsi, si la courbe devient une parabole réelle, AC — B^ est nul ; 

 la période devient infinie et disparaît à ce titre, de sorte que la quadratrice 

 redevient algébrique. Mais il en est de même, dans la même hypothèse 

 AC — B- = o, lorsque les coefficients de l'équation sont imaginaires. 



» Si AC — B- est différent de zéro et que 



AE»-t-CD-~ 2BDEh-F(B--AC) 



soit nul, la courbe, supposée réelle, est une ellipse évanouissante ou une 

 hyperbole réduite à ses asymptotes; la période devient nulle et elle dispa- 

 raît à ce titre; mais il en est de même, dans la même hypothèse, lorsque 

 les coefficients de l'équation sont imaginaires. 



» Si l'équation représente deux droites parallèles ou confondues, le nu- 

 mérateur et le dénominateur de la formule de la période deviennent nuls, 

 la période devient indéterminée et s'évanouit encore à ce titre; mais il en 

 est encore de même si les deux droites représentées par l'équation devien- 

 nent imaginaires. 



» Si les coefficients de l'équation sont réels, la période est réelle ou 

 imaginaire, suivant que la courbe appartient au genre ellipse ou au genre 

 hyperbole; mais elle reste réelle quand même l'ellipse devient imaginaire, 

 parce que ses deux axes deviennent alors imaginaires. 



» Cela posé, il est évident, eu premier lieu, que si une courbe quel- 

 conque comprend un point isolé, ou un point double, où se coupent sous 

 un angle deux branches de la courbe, par cela seul une période doit s'être 

 annulée; car un point isolé est un anneau réel évanouissant dont l'aire in- 

 térieure, qui eût été une période réelle, est devenue nulle, et un point double 

 naît toujours du rapprochement de deux branches de la courbe réelle, 

 qui laissaient entre elles un espace comprenant un anneau de conjuguée, 

 dont l'aire intérieure, qui eût été une période imaginaire, vient de s'éva- 

 nouir. 



» En second lieu, si la courbe proposée a deux asymptotes rejetées à 

 l'infini, leurs coefficients angulaires étant devenus égaux, luie période 



