( 7%) 

 doit être devenue infinie, comme cela arrive pour la parabole, dans les 

 courbes du second degré, ou pour les courbes paraboliques du quatrième 

 ordre que peut représenter l'équation du second degré à coefficients ima- 

 ginaires. 



» Dans ce cas, en effet, deux branches de !a courbe se rejoignent à l'in- 

 fini, c'est-à-dire forment un anneau qui, ne se fermant qu'à l'infini, a une 

 aire infinie. 



» Le fait peut, au reste, être mis en évidence par l'une ou l'autre de ces 

 observations trop aisées à vérifier pour qu'il soit nécessaire de développer 

 les calculs : i" que lorsqu'une courbe a deux asymptotes parallèles, l'une 

 des tangentes parallèles à une direction donnée s'en va à l'infini, c'est-à- 

 dire que l'un des points critiques du lieu s'en va lui-même à l'infini ; 2° que 

 dans le même cas les trois équations 



/(x, }•) = o, /', = et /; = o 



admettent la solution commune j: = co , ^ = x , c'est-à-dire que la courbe 

 a un point double à l'infini. 



» Je ne crois pas que cette observation se trouve ^dans l'Ouvrage de 

 M. Clebsch. 



» Lorsque la courbe proposée a deux asymptotes parallèles, une seconde 

 condition peut ramener la période à l'état fini : c'est celle où les deux 

 asymptotes seraient restées à distance finie l'une de l'autre. Une foule 

 d'exemples connus viennent confirmer cette assertion. 



» Enfin une troisième condition peut rendre de nouveau la période 

 évanouissante : c'est celle en raison de laquelle les deux asymptotes pa- 

 rallèles viendraient en coïncidence. Dans ce cas, la période deviendra indé- 

 terminée. 



» Il est évident que les seuls cas à examiner sont ceux que nous venons 

 de passer en revue, car la représentation géométrique d'une période ne 

 peut disparaître qu'autant que cette période devient nulle ou infinie, et il 

 est clair que l'une ou l'autre circonstance ne peut se présenter que dans 

 l'un ou l'autre des cas que nous avons considérés. 



» Je terminerai par une remarque à laquelle on trouvera peut-être 

 quelque intérêt. On sait que la méthode donnée par Cauchy pour la recherche 

 des périodes d'une intégrale est fondée sur la considération des points criti- 

 ques du lieu à quarrer. Lorsque le contour relatif àx, le long duquelse fait 

 l'intégration, ne comprend aucun point critique, l'intégrale est toujours 

 nulle; tandis qu'elle ne l'est généralement pas dans le cas contraire, et que, 



97- 



