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» Toul cône ajant son sommet snr l'axe de (C), et passant par ce cercle, 

 touche la surface élémentaire en deux points ; quel que soit le cône, la droite qui 

 joint ces deux points passe par un même point M; pour toutes les surfaces 

 élémentaires, le lieu du point M est tme conique, les asymptotes de cette conique 

 sont parallèles aux normales des surfaces enveloppant les axes des cercles. Si l'on 

 considère un même cône et toutes tes surfaces élémentaires, les droites joignant 

 les points ou il touche chaque surface passent par un même point ; le lieu de ces 

 points pour tous tes cônes est la conique lieu du point M. Si l'on déduit du 

 faisceau un autre faisceau en augmentant d'une constante le carré des rayons 

 des cercles, les cônes de même sommet ont les mêmes droites de contact. 



» Les quatre points d'intersection de la conique (M) et du cercle (C) donnent 

 lieu à quatre directions pour lesquelles les cercles consécutifs se rencontrent en 

 un point ou le plan tangent est indéterminé ; il j est au contraire invariable 

 pour toutes les cmtres surf aces élémentaires ; le lieu de ces points est la surface 

 enveloppe des cetcles {si ion y joint l'ombilicale). 



» De ce qui précède il résulte qu'en général il n'est pas possible de faire 

 passer une sphère par deux cercles consécutifs d'un faisceau; le cas où 

 cela devient possible de deux manières mérite d'être signalé : il faut alors 

 que la corde de contact coïncide de deux façons avec la conjuguée du 

 chemin suivi. L'enveloppe des cordes de contact doit être A, ce que l'on 

 exprime par les conditions 



dr . d^ dn 



''7hl~^d7c ~'''du—-^^' 



dr ^ rfÇ dïi 



I " — — ^ — 



Posant 



'^d-.-^d:>-'^H;=s-*i- 



R=» = ^2 + rî^ - /■% 



il vient 



_ R^/R _ _ RrfR 



Ceci prouve que les cercles ont pour axes les cordes de contact d'une enveloppe 

 de sphères de rajon R dont les centres sont sur (A), qu'ils sont orthogonaux aux 

 sphères enveloppées, et sont l'image des deux nappes de l'enveloppe. Laco- 

 nique (M) se réduit à ses asymptotes qui se coupent en A ; ces droites sont conju- 

 guées; elles sont tangentes aux directions qu'il faut suivre pour que les cercles se 

 coupent consécutivement en deux points. 



n Lorsque (M) devient un cercle, l'enveloppe du faisceau n'a plus que 



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