( 832 ) 



deux nappes à distance finie; il suffit, pour que cela ait lieu, que les nor- 

 males aux développables formées par les axes soient isotropes; la valeur 

 de r reste arbitraire, et la surface (A) est quelconque. On peut supposer 

 qu'elle se réduit à une sphère; le réseau orthogonal étant pris isomérique, 

 les équations du faisceau d'axes deviennent 



ai' lia 



on peut donc en former l'intégrale. 



» Par le point où le plan normal en R à (C) rencontre chaque cercle 

 infiniment voisin, si nous menons la tangente à ce dernier, nous formerons 

 autour du point K un pinceau de droites dans lequel chaque direction AA' 

 déterminera une surface élémentaire; la variation du plan tangent à cette 

 surface tout le long de la tangente en K à (C) est encore exprimée par la 

 formule donnée plus haut, dans laquelle X et Y sont les coordonnées d'un 

 point de la tangente. Cette formule est en effet vérifiée : i" pour le point K; 

 1° pour le point sur la conjuguée de AA' où tango doit être nulle; 3" pour 

 le point sur la corde de contact où tang5 doit être infinie. 



» On en conclut que le lien des points doubles de tous les pinceaux, lorsque 

 K décrit (C), est ta conique (M). 



)) Désignons par a l'angle de CK. avec AX, et par / la distance du point 

 dont les coordonnées sont X et Y au point Iv; remplaçons X et Y par leurs 

 valeurs en a, et l dans l'équation donnant tango. 



M Si l'on écrit que tangS est indépendante de /, l'équalion du second 

 degré qui en résulte entre du et (/indéterminé les directions qu'il faut suivre 

 pour qu'au point K les surfaces élémentaires soient dévelop|jables. La con- 

 dition pour que ces du'ections soient conjuguées (en supposant y} nul, ce 

 qui est permis) est 



J^ + -■!;.- in:) -^ ^^'' (='■ 1ù. +^ iat + '• b ? +/ ,7.) = « ; 



g^snia 



d'où il résulte qu'il y a toujours deux points sur le cercle où cette condition 

 est vérifiée. Si l'on veut qu'elle le soit partout, elle doit être indépendante 

 de a..,. Les cercles sont l'image des deux nappes d'une enveloppe de sphères 

 ayant leurs centres s»r (A). Il est à remarquer que l'équation précédente est 

 indépendante de la forme de (A), ce qui est vrai d'ailleurs pour un faisceau 

 de courbes planes quelconques. 



