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» Il trouve par deux approximations obtenues comme ci-dessus que si i 

 représente la pente du fond du canal, /«la profondeur d'eau, et par consé- 

 quent — la courbure du fond et ^ = ^ j-T c^iWe de la surface, il sultit, 



vu l'équation de conservation des volumes ^U = const., de retrancher, 

 du terme (i+'î + S)— ( — ) de l'équation (n" 5) du mouvement par 

 filets rectilignes, l'expression 



~Y \3 ds' "*" 6 77') ~ [3 ds' \T^) "*" 2 ^ "^J' 



pour avoir l'équation du mouvement avec tllets courbes. 



o Cette équation se prête, aussi bien que celle qui est relative aux cas des 

 filets rectilignes, à déterminer numériquement de proche en proche la suite 

 des pentes de superficie qu'un débit donné fera prendre à un courant, 

 moyennant un peu plus de données initiales. 



» 10. Mais elle peut fournir aussi plusieurs conséquences générales. 



» Si l'on suppose, en effet, d'abord (§ XX) que le fond n'a pas de cour- 

 bure, ou qu'il n'y en a qu'à la surface de l'eau, on la change en une équa- 

 tion différentielle du troisième ordre en h et s, qui devient linéaire et inlé- 

 grable quand, au lieu de la hauteur d'eau variable h, l'on prend pour 



inconnue la proportion zs = , dont cette hauteur excède celle H qui 



répond au régime uniforme de même débit, et quand cette proportion 

 est supposée peu considérable. L'intégration, en discutant ses résul- 

 tats, fournit à M. Boussinesq un grand nombre de particularités curieuses 

 relatives aux endroits du courant où l'uniformité commence ou cesse 

 d'avoir lieu. L'intégrale est la somme de trois exponentielles affectées de 

 constantes arbitraires, tantôt finies, tantôt nulles, avec des exposants dont 

 l'un est toujours réel, les deux autres tantôt réels, tantôt imaginaires. La 

 forme périodique, qui résulte de l'imaginarité, prouve que dans les en- 

 droits des rivières ou des torrents modérés, où le régime uniforme commence 

 à s'établir, la surface du fluide se trouve affectée d'une suite d'ondulations 

 transversales ayant, toutes, la même dimension dans le sens delà longueur 

 du courant, avec des hauteurs wH rapidement décroissantes, et bientôt 

 effacées en avançant vers l'aval, ou vers un profil rectiligne asymplotique 

 autour duquel serpentait le profil ainsi ondulé. 



)) Les exponentielles sont à exposant réel, et il n'y a pas d'ondulations, 

 à l'endroit où s'établit le régime uniforme des torrents classés ci-dessus 



